Se uma corda elástica tem uma extremidade solta em
, a condição de contorno a ser satisfeita é
. Encontre o deslocamento
de uma corda elástica de comprimento
, fixa em
e solta em
, colocada em movimento sem velocidade inicial a partir de uma posição inicial
, onde
é uma função dada. Sugestão: Mostre que as soluções fundamentais para este problema (utilizando as condições de contorno adequadas) são
Res:
.
Passo 1
O problema é a equação da onda
numa corda de comprimento
, com uma extremidade fixa em
(isto é,
) e outra livre em
(isto é,
). As condições iniciais são
e
. Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier para resolver.
Passo 2
Assumimos uma solução do tipo
. Substituindo na equação da onda e dividindo por
obtemos
onde
é constante de separação.
Passo 3
No eixo espacial resolvemos
com as condições
A solução geral é
. De
vem
. Como
, a condição
dá
, ou seja
Portanto
Passo 4
No eixo temporal temos
cuja solução é
Como
e queremos
, ajustamos
(logo
) e
(logo
). Assim cada modo é
Passo 5
Pela superposição, a solução geral é
Impondo
faz
e pelos modos de seno ortogonais obtemos
Resposta
u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty c_n\sin\Bigl(\frac{(2n-1)\pi x}{2L}\Bigr)\cos\Bigl(\frac{(2n-1)\pi a t}{2L}\Bigr)