Se uma corda elástica tem uma extremidade solta em L, a condição de contorno a ser satisfeita é ux(L, t)=0. Encontre o deslocamento u(x, t) de uma corda elástica de comprimento L, fixa em x=0 e solta em x=L, colocada em movimento sem velocidade inicial a partir de uma posição inicial u(x, 0)=f(x), onde f é uma função dada. Sugestão: Mostre que as soluções fundamentais para este problema (utilizando as condições de contorno adequadas) são
un(x, t)=sin (lambdan x) cos (lambdan a t)
com lambdan=(2 n-1) pi / 2 L, n=1,2,3, ldots Res: u(x, t)=sumn=1^infty cn sin ((2 n-1) pi x2 L) cos ((2 n-1) pi a t2 L) com cn=2L integral0^L f(x) sin ((2 n-1) pi x2 L) d x.

Passo 1

O problema é a equação da onda utt=a^2uxx numa corda de comprimento L, com uma extremidade fixa em x=0 (isto é, u(0,t)=0) e outra livre em x=L (isto é, ux(L,t)=0). As condições iniciais são u(x,0)=f(x) e ut(x,0)=0. Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier para resolver.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo u(x,t)=X(x),T(t). Substituindo na equação da onda e dividindo por a^2X(x)T(t) obtemos
T''(t)a^2T(t)=X''(x)X(x)=-lambda^2
onde lambda^2 é constante de separação.

Passo 3

No eixo espacial resolvemos
X''(x)+lambda^2X(x)=0
com as condições
X(0)=0, X'(L)=0
A solução geral é X(x)=Asin(lambda x)+Bcos(lambda x). De X(0)=0 vem B=0. Como X'(x)=Alambdacos(lambda x), a condição X'(L)=0 cos(lambda L)=0, ou seja
lambdanL=(2n-1)pi2, n=1,2,3,dots
Portanto
lambdan=(2n-1)pi2L, Xn(x)=sinl(lambdan xr)

Passo 4

No eixo temporal temos
T''(t)+(alambdan)^2T(t)=0
cuja solução é
Tn(t)=Ancos(alambdan t)+Bnsin(alambdan t)
Como u(x,0)=f(x) e queremos ut(x,0)=0, ajustamos Tn(0)=1 (logo An=1) e Tn'(0)=0 (logo Bn=0). Assim cada modo é
un(x,t)=sin(lambdan x)cos(alambdan t)

Passo 5

Pela superposição, a solução geral é
u(x,t)=sumn=1^infty cnsin(lambdan x)cos(alambdan t)
Impondo u(x,0)=f(x) faz
f(x)=sumn=1^infty cnsin(lambdan x),
e pelos modos de seno ortogonais obtemos
cn=2Lintegral0^L f(x)sinl(lambdan xr),dx

Resposta

u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty c_n\sin\Bigl(\frac{(2n-1)\pi x}{2L}\Bigr)\cos\Bigl(\frac{(2n-1)\pi a t}{2L}\Bigr)
cn=2Lintegral0^L f(x)sinl((2n-1)pi x2Lr),dx

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