partial^2 upartial x^2=1a^2 partial^2 upartial t^2 u(0, t)=0 e partial u(L, t)partial x=0 u(x, 10 La)=f(x)=cl 4 xL & se 0 <= x
com varepsilon 0^+. Esboçe o gráfico de f(x) e argumente que a introdução de varepsilon é necessária para que haja coerência entre as condições iniciais (em t=10 La ) e as condições de contorno.

Passo 1

A gente tem a equação da onda unidimensional
partial^2 upartial x^2=1a^2partial^2 upartial t^2
com condições de contorno
u(0,t)=0, partial upartial x(L,t)=0
e condições iniciais dadas em t0=10,L/a:
u(x,t0)=f(x), ut(x,t0)=0
Precisamos esboçar o perfil f(x) e explicar por que é preciso introduzir um intervalo de largura varepsilon>0.

Passo 2

Definimos o perfil inicial de forma pedaço-a-pedaço:
f(x)= 4,dfracxL, & 0<= x
A gente verifica que em x=L/2 e em x=L-varepsilon o valor de f fica contínuo (as duas definições coincidem nesses pontos).

Passo 3

No gráfico de f(x) temos um segmento reto subindo de (0,0) a (L/2,2), depois um segmento reto decrescendo até (L-varepsilon,0) e, finalmente, zero de x=L-varepsilon até x=L.

Passo 4

Para ser compatível com as condições de contorno em t=t0 a gente precisa que:
f(0)=0 (ok para u(0,t)=0),
f'(L)=0 (exigido por ux(L,t)=0)
Na segunda parte (sem o trecho zero) o declive seria
f'(x)=-dfrac4L-2varepsilon,
o que em varepsilonto0^+ viraria -4/Lneq0, violando o Neumann em x=L.

Passo 5

Por isso a gente insere o trecho L-varepsilon<= x<= L onde f(x)=0. Assim em toda essa região f'(x)=0 e em particular f'(L)=0, cumprindo ux(L,t0)=0. No limite varepsilonto0^+ esse trecho desaparece em medida mas garante coerência com a condição de contorno.

Resposta

O gráfico de f(x) é um triângulo que cresce de 0 até (L/2,2), decresce até (L-varepsilon,0) e fica em zero até L. A introdução do trecho de comprimento varepsilon>0 onde f=0 assegura que f'(L)=0, respeitando a condição de contorno Neumann em x=L; sem esse trecho, o declive em L seria não nulo e a condição de contorno seria violada.

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