Seja \cos (x) \cdot \operatorname{sen}(x)=\frac{6}{13} e x \in[0,2 \pi[, então a soma de todos os valores possiveis de \operatorname{tg}(x) é:
a) 0
b) -\frac{13}{6}
c) -\frac{5}{6}
d) \frac{5}{6}
e) \frac{13}{6}

Passo 1

O enunciado dá
\cos(x)\,\operatorname{sen}(x)=\frac{6}{13},
com x\in[0,2\pi[, e pede a soma de todos os valores possíveis de \operatorname{tg}(x).
O conteúdo aqui é usar a identidade do ângulo duplo
\operatorname{sen}(2x)=2\,\operatorname{sen}(x)\cos(x),
transformar o problema numa equação em 2x, e depois achar \operatorname{tg}(x) com fórmulas de semi-ângulo.

Passo 2

Escrevendo \cos(x)\,\operatorname{sen}(x)=\tfrac{6}{13} em termos de \operatorname{sen}(2x), temos
2\,\operatorname{sen}(x)\cos(x)=\frac{12}{13} \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen}(2x)=\frac{12}{13}.

Passo 3

Seja \alpha\in[0,\pi/2] tal que
\operatorname{sen}(\alpha)=\frac{12}{13}.
Então \cos(\alpha)=\sqrt{1-\bigl(\tfrac{12}{13}\bigr)^2}=\tfrac{5}{13}.
As soluções de \operatorname{sen}(2x)=\operatorname{sen}(\alpha) dão
2x=\alpha\quad\text{ou}\quad 2x=\pi-\alpha
(no intervalo principal), de onde
x_1=\frac{\alpha}{2}, \quad x_2=\frac{\pi-\alpha}{2}.

Passo 4

Para cada uma dessas x_i calculamos \operatorname{tg}(x_i). Usamos a fórmula da tangente de semi-ângulo:
\operatorname{tg}\!\Bigl(\frac{\alpha}{2}\Bigr) =\frac{1-\cos(\alpha)}{\operatorname{sen}(\alpha)} =\frac{1-\tfrac{5}{13}}{\tfrac{12}{13}} =\frac{\tfrac{8}{13}}{\tfrac{12}{13}} =\frac{8}{12} =\frac{2}{3}.
E
\operatorname{tg}\!\Bigl(\frac{\pi-\alpha}{2}\Bigr) =\operatorname{tg}\!\Bigl(\frac{\pi}{2}-\frac{\alpha}{2}\Bigr) =\cot\!\Bigl(\frac{\alpha}{2}\Bigr) =\frac{1}{\operatorname{tg}(\alpha/2)} =\frac{3}{2}.

Passo 5

Embora \operatorname{sen}(2x) tenha mais soluções em [0,2\pi[, a tangente se repete a cada \pi, então os únicos valores distintos de \operatorname{tg}(x) são
\operatorname{tg}\!\Bigl(\frac{\alpha}{2}\Bigr)=\frac{2}{3} \quad\text{e}\quad \operatorname{tg}\!\Bigl(\frac{\pi-\alpha}{2}\Bigr)=\frac{3}{2}.
A soma desses valores é
\frac{2}{3}+\frac{3}{2} =\frac{4+9}{6} =\frac{13}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{13}{6} (alternativa e)

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