Seja 
  e considere o produto interno 
  
 . Calcule uma base ortonormal para 
 .
Passo 1
Então, temos o espaço 
 , que é basicamente todas as combinações lineares das funções 
  e 
 . O que queremos encontrar é uma base ortonormal para esse espaço usando o produto interno definido por 
 . Para isso, vamos usar o processo de ortonormalização de Gram-Schmidt.
Passo 2
Primeiro, escolhemos as funções 
  e 
  como nossa base inicial. Precisamos verificar se elas já são ortogonais e normalizadas.
Passo 3
Calculamos o produto interno entre 
  e 
 :
Isso mostra que 
  e 
  são ortogonais.
Passo 4
Agora, verificamos se cada função está normalizada, ou seja, se o produto interno de cada função consigo mesma é 1.
Para 
 :
Para 
 :
Ambas as integrais resultam em 
 , então as funções não estão normalizadas.
Passo 5
Para normalizar, dividimos cada função pela raiz do seu produto interno consigo mesma. Ou seja, dividimos por 
 .
Então, as funções normalizadas ficam:
Passo 6
Agora, temos duas funções que são ortogonais (
 ) e normalizadas (
 ). Portanto, elas formam uma base ortonormal para o espaço 
 .
Resposta
Uma base ortonormal para 
  é 
 .