Seja a curva C obtida como interseção da semiesfera y=raiz4-x^2-z^2 com o plano x+z=2. Calcule o comprimento de C.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da curva C definida por
y = raiz4 - x^2 - z^2 e x + z = 2,
ou seja, a interseção da semiesfera de raio 2 centrada na origem (com y>=0) e do plano x+z=2. Para resolver, vamos usar a geometria da interseção de um plano e de uma esfera: esse encontro é um círculo de raio dado por
R = raizr^2 - d^2,
onde r=2 é o raio da esfera e d é a distância do centro da esfera ao plano.

Passo 2

A esfera completa seria
x^2 + y^2 + z^2 = 4,
e o plano pode ser escrito como
x + z - 2 = 0
A distância do centro (0,0,0) ao plano é
d = l|1cdot0 + 0cdot0 + 1cdot0 -2r|raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = 2raiz2 = raiz2

Passo 3

Logo o raio do círculo de interseção é
R = raiz2^2 - (raiz2)^2 = raiz4 - 2 = raiz2
Em seguida, como a semiesfera corresponde apenas à parte com y>=0, a interseção com o plano é metade desse círculo.

Passo 4

O comprimento de um círculo completo de raio raiz2 seria
2piraiz2,
mas como só temos meia volta (semiesfera), o comprimento de C é
L = 12,2piraiz2 = piraiz2

Resposta

L = pi raiz2

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