Seja a curva obtida como interseção da semiesfera com o plano . Calcule o comprimento de .
Passo 1
O enunciado pede o comprimento da curva definida por
ou seja, a interseção da semiesfera de raio centrada na origem (com ) e do plano . Para resolver, vamos usar a geometria da interseção de um plano e de uma esfera: esse encontro é um círculo de raio dado por
onde é o raio da esfera e é a distância do centro da esfera ao plano.
Passo 2
A esfera completa seria
e o plano pode ser escrito como
A distância do centro ao plano é
Passo 3
Logo o raio do círculo de interseção é
R = raiz2^2 - (raiz2)^2 = raiz4 - 2 = raiz2
Em seguida, como a semiesfera corresponde apenas à parte com y>=0, a interseção com o plano é metade desse círculo.
Passo 4
O comprimento de um círculo completo de raio raiz2 seria
2piraiz2,
mas como só temos meia volta (semiesfera), o comprimento de C é