Considere o campo de vetores
F(x, y)=(3 xraizx^2+y^4, 6 y^3raizx^2+y^4)
(b) Calcule o trabalho realizado por F ao deslocar uma partícula ao longo do arco de circunferência y=raiz1-x^2 do ponto A=(1,0) até o ponto B=(-1raiz2, 1raiz2).

Passo 1

O enunciado nos dá o campo vetorial
vec F(x,y)=l(3xraizx^2+y^4,,6y^3raizx^2+y^4r)
e pede o trabalho ao longo do arco da circunferência y=raiz1-x^2 de A=(1,0) até B=l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r). Isso é uma integral de linha do tipo trabalho. Vamos verificar se vec F é conservativo; se for, podemos usar um potencial e a independência de caminho.

Passo 2

Procuramos uma função f(x,y) tal que
nabla f(x,y) =l(partial fpartial x,,partial fpartial yr) =l(xraizx^2+y^4,,2y^3raizx^2+y^4r)
Note que
f(x,y)=raizx^2+y^4
satisfaz
partial fpartial x=xraizx^2+y^4, partial fpartial y=2y^3raizx^2+y^4
Logo vec F=3,nabla f, isto é, vec F é conservativo em qualquer região que não contenha (0,0).

Passo 3

Como vec F=nablaphi com
phi(x,y)=3,raizx^2+y^4,
o trabalho é
W=phi(B)-phi(A)
Em A=(1,0):
phi(1,0)=3raiz1^2+0^4=3
Em B=l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r):
phi!l(-tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) =3raiztfrac12+l(tfrac1raiz2r)^4 =3raiztfrac12+tfrac14 =3raiztfrac34 =3raiz32
Portanto,
W=3raiz32-3 =3l(raiz32-1r)

Resposta

W=3l(raiz32-1r)

Exercícios relacionados