Determine a funçīo vetorial que representa a curva obtida pela interseçīo das superficies
z=x^{2} \text { e } x^{2}+y^{2}=4 .

Passo 1

O enunciado dá duas superfícies e pede a curva de interseção entre elas. As informações são:
  • A superfície 1: z=x^{2}.
  • A superfície 2: x^{2}+y^{2}=4.
O que se pede explicitamente:
  • Determinar a função vetorial (parametrização) que representa a curva formada pela interseção dessas duas superfícies.

Passo 2

Entendendo o que significa “interseção”: a curva procurada é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente as duas equações dadas. Ou seja, qualquer ponto da curva deve obedecer
z=x^{2} \qquad\text{e}\qquad x^{2}+y^{2}=4.
Portanto, a projeção dessa curva no plano xy é exatamente o círculo de raio 2 centrado na origem definido por x^{2}+y^{2}=4. Isso sugere parametrizar primeiro esse círculo no plano xy e depois obter z a partir de z=x^{2}.

Passo 3

Como parametrizar um círculo no plano xy: é um padrão muito usado e bem simples. Para um círculo de raio R centrado na origem, usa-se o parâmetro angular t (o ângulo medido a partir do eixo x):
x=R\cos t,\qquad y=R\sin t,
onde t varia em um intervalo de comprimento 2\pi (por exemplo t\in[0,2\pi)) para gerar todo o círculo uma vez. Aqui o raio é R=2, então substituímos R por 2.

Passo 4

Aplicando com R=2 obtemos
x=2\cos t,\qquad y=2\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Agora usamos a outra equação z=x^{2} para obter z em função de t. Substituindo x=2\cos t,
z=(2\cos t)^{2}=4\cos^{2}t.
Mostrando a conta: (2\cos t)^{2}=2^{2}\cos^{2}t=4\cos^{2}t.

Passo 5

Juntando as componentes x(t), y(t) e z(t) formamos a função vetorial (parametrização) da curva:
\mathbf{r}(t)=\langle 2\cos t,\;2\sin t,\;4\cos^{2}t\rangle,\qquad t\in[0,2\pi).
Isso significa que para cada t nesse intervalo, o ponto \mathbf{r}(t) pertence à interseção das duas superfícies.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): substituir a parametrização nas equações das superfícies.
x^{2}+y^{2}=(2\cos t)^{2}+(2\sin t)^{2}=4(\cos^{2}t+\sin^{2}t)=4,
logo satisfaz o segundo dado. E
z=4\cos^{2}t=(2\cos t)^{2}=x^{2},
logo satisfaz o primeiro dado. Portanto a parametrização está correta.

Passo 7

Observações úteis para a prova:
  • O parâmetro t é o ângulo polar no plano xy; variar t de 0 a 2\pi percorre toda a curva uma vez.
  • Alternativa: pode-se usar \cos^{2}t=\dfrac{1+\cos 2t}{2} para escrever z como z=2+2\cos 2t se isso facilitar algum cálculo subsequente.
  • Se pedirem orientação da curva, esta parametrização tem orientação anti-horária vista de cima (no sentido de aumento de t).

Resposta

\mathbf{r}(t)=\langle 2\cos t,\;2\sin t,\;4\cos^{2}t\rangle,\;t\in[0,2\pi)

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