Determine a funçīo vetorial que representa a curva obtida pela interseçīo das superficies
Passo 1
O enunciado dá duas superfícies e pede a curva de interseção entre elas. As informações são:
- A superfície 1:
. - A superfície 2:
.
O que se pede explicitamente:
- Determinar a função vetorial (parametrização) que representa a curva formada pela interseção dessas duas superfícies.
Passo 2
Entendendo o que significa “interseção”: a curva procurada é o conjunto de pontos
que satisfazem simultaneamente as duas equações dadas. Ou seja, qualquer ponto da curva deve obedecer
Portanto, a projeção dessa curva no plano
é exatamente o círculo de raio
centrado na origem definido por
. Isso sugere parametrizar primeiro esse círculo no plano
e depois obter
a partir de
.
Passo 3
Como parametrizar um círculo no plano
: é um padrão muito usado e bem simples. Para um círculo de raio
centrado na origem, usa-se o parâmetro angular
(o ângulo medido a partir do eixo
):
onde
varia em um intervalo de comprimento
(por exemplo
) para gerar todo o círculo uma vez. Aqui o raio é
, então substituímos
por
.
Passo 4
Aplicando com
obtemos
Agora usamos a outra equação
para obter
em função de
. Substituindo
,
Mostrando a conta:
.
Passo 5
Juntando as componentes
,
e
formamos a função vetorial (parametrização) da curva:
Isso significa que para cada
nesse intervalo, o ponto
pertence à interseção das duas superfícies.
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): substituir a parametrização nas equações das superfícies.
logo satisfaz o segundo dado. E
logo satisfaz o primeiro dado. Portanto a parametrização está correta.
Passo 7
Observações úteis para a prova:
- O parâmetro
é o ângulo polar no plano ; variar de a percorre toda a curva uma vez. - Alternativa: pode-se usar
para escrever como se isso facilitar algum cálculo subsequente. - Se pedirem orientação da curva, esta parametrização tem orientação anti-horária vista de cima (no sentido de aumento de
).