Use o método de Frobenius para encontrar a forma da solução geral em torno de
das seguintes equações, determinando o polinômio indicial e a fórmula de recorrência:
Discuta a existência de uma segunda solução independente e a possível ocorrência de logaritmos.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pede:
- encontrar o polinômio indicial (logo: as raízes
do indicial); - obter a fórmula de recorrência para os coeficientes da série de Frobenius;
- discutir existência de uma segunda solução independente e se aparecem termos com logaritmo.
Informações relevantes que já temos (do enunciado):
- O ponto
é o ponto em torno do qual se pede a solução (potencial ponto singular). - A equação é de segunda ordem linear com coeficientes singulares em
.
Passo 2
Primeiro, por que usar Frobenius e quando ele é aplicável?
- Se uma equação linear de segunda ordem pode ser escrita como
e
é um ponto singular regular (ou seja,
e
são analíticos em
), então procuramos soluções da forma de Frobenius
onde
é um número a determinar (é a raiz do polinômio indicial).
Vamos checar que é um ponto singular regular para a equação dada.
Vamos checar que
Dividindo por
obtemos
Aqui
e
. Verifica-se que
e
são analíticos em
. Logo
é ponto singular regular e Frobenius é aplicável.
Passo 3
Agora construímos a série de Frobenius e suas derivadas. Assuma
Então
Multiplicando pelos fatores da equação e substituindo:
E
Somando todos os termos, para o expoente
obtemos a condição (para cada
):
onde, por convensão,
.
Passo 4
Simplificamos o coeficiente entre colchetes:
Portanto a relação fica
Para
obtemos o polinômio indicial (coeficiente do menor expoente
):
Como
por hipótese, o polinômio indicial é
Resolvendo:
Chamemos
e
.
Passo 5
Agora a fórmula de recorrência geral vem de reescrever a condição para
:
Note que a equação para
(onde não há
) é
Usando que
satisfaz
podemos simplificar o fator:
que não é zero para os valores de
encontrados (nenhum dos
é
). Portanto a equação força
Conclusão importante:
, e pela recorrência
também serão zero (pois cada coeficiente ímpar é obtido a partir do anterior ímpar). Assim a série resultante tem apenas termos de mesma paridade que
: os coeficientes pares são determinados por
, os ímpares são nulos. Logo uma solução de Frobenius tem a forma
com recorrência (em termos de
)
Em particular
Passo 6
Sobre existência de uma segunda solução independente e ocorrência de logaritmos:
- As duas raízes do indicial,
e , são distintas e a diferença
não é inteiro. Pelo teorema clássico de Frobenius, quando as raízes são distintas e não diferem por inteiro, existem duas soluções de Frobenius independentes, uma correspondente a
e outra a
, cada uma do tipo
com as recorrências acima (cada série tem apenas termos de potências pares a partir de
).
- Como as raízes não diferem por inteiro, NÃO aparecem logaritmos nas soluções: ambas as soluções são séries de Frobenius puras (sem multiplicadores logarítmicos).
Passo 7
Resumo prático para aplicar na prova (passo-a-passo curto):
- Mostrar que
é singular regular (verifique e ). - Inserir
, computar derivações e igualar coeficientes de . - Obter indicial
e resolver . - Escrever recorrência
concluir
e que somente coeficientes pares sobrevivem.
5. Como , há duas soluções independentes sem logaritmos.
5. Como
Resposta
Polinômio indicial:
, com raízes
Fórmula de recorrência (para uma solução de Frobenius com expoente
):
com
e
livre; portanto cada solução tem apenas termos de potência pares:
Segunda solução / logaritmos: As duas raízes do indicial são distintas e não diferem por inteiro (
), portanto existem duas soluções independentes de Frobenius (uma para cada raiz) e não ocorrem termos com logaritmo.