Seja a curva de equação
. Determine a equação da reta tangente à curva no ponto de abscissa
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos a curva de equação y = x³ – 12x e queremos a reta tangente no ponto de abscissa x = 4. O conteúdo é derivada de função polinomial e usaremos a derivada para achar a inclinação da reta e depois a equação ponto-inclinação.
Passo 2
Calcular a derivada da função para obter a inclinação geral: a função é y = x³ – 12x, então sua derivada é y’ = 3x² – 12.
Passo 3
Avaliar a derivada em x = 4 para encontrar o coeficiente angular m: m = y’(4) = 3·4² – 12 = 3·16 – 12 = 48 – 12 = 36.
Passo 4
Determinar o ponto de tangência: calcular y(4) na curva original, y(4) = 4³ – 12·4 = 64 – 48 = 16. O ponto é (4, 16).
Passo 5
Montar a equação da reta usando a fórmula ponto-inclinação y – y₀ = m(x – x₀) e simplificar: y – 16 = 36(x – 4), o que dá y = 36x – 128.
Resposta
y = 36x – 128