Seja a curva de equação y=x^3-12 x. Determine a equação da reta tangente à curva no ponto de abscissa x=4.

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a curva de equação y = x³ – 12x e queremos a reta tangente no ponto de abscissa x = 4. O conteúdo é derivada de função polinomial e usaremos a derivada para achar a inclinação da reta e depois a equação ponto-inclinação.

Passo 2

Calcular a derivada da função para obter a inclinação geral: a função é y = x³ – 12x, então sua derivada é y’ = 3x² – 12.

Passo 3

Avaliar a derivada em x = 4 para encontrar o coeficiente angular m: m = y’(4) = 3·4² – 12 = 3·16 – 12 = 48 – 12 = 36.

Passo 4

Determinar o ponto de tangência: calcular y(4) na curva original, y(4) = 4³ – 12·4 = 64 – 48 = 16. O ponto é (4, 16).

Passo 5

Montar a equação da reta usando a fórmula ponto-inclinação y – y₀ = m(x – x₀) e simplificar: y – 16 = 36(x – 4), o que dá y = 36x – 128.

Resposta

y = 36x – 128

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