Sejam
e
. Decida quais afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com uma prova ou um contraexemplo:
( 1,0 pt.) Se
, então
;
( 1,0 pt.) Se
Passo 1
O enunciado pergunta se para naturais com n ≥ m e 0 ≤ k ≤ m vale a igualdade
. Vamos analisar.
Passo 2
Lembrando da identidade de Vandermonde temos sempre
. A proposta do enunciado corresponderia a truncar essa soma apenas em i=0 e i=k, desconsiderando todos os demais termos quando k>1.
Passo 3
Para ver que isso falha, basta escolher um contraexemplo com k>1. Por exemplo, tome m=2, n=3 e k=2. Então
e claramente 10 ≠ 4. Portanto a igualdade não vale em geral.
Resposta
A afirmação é falsa, com contraexemplo m=2, n=3, k=2, pois 10 ≠ 4.