Sejam n, m in N backslash0 e 0 <= k <= m. Decida quais afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas, justificando sua resposta com uma prova ou um contraexemplo:
( 1,0 pt.) Se n >= m, então binomm+nk=binommk+binomnk;

Passo 1

O enunciado pergunta se para naturais com n ≥ m e 0 ≤ k ≤ m vale a igualdade binomm+nk=binommk+binomnk. Vamos analisar.

Passo 2

Lembrando da identidade de Vandermonde temos sempre binomm+nk=sumi=0^kbinommibinomnk-i. A proposta do enunciado corresponderia a truncar essa soma apenas em i=0 e i=k, desconsiderando todos os demais termos quando k>1.

Passo 3

Para ver que isso falha, basta escolher um contraexemplo com k>1. Por exemplo, tome m=2, n=3 e k=2. Então
binomm+nk=binom52=10,
binommk+binomnk=binom22+binom32=1+3=4,
e claramente 10 ≠ 4. Portanto a igualdade não vale em geral.

Resposta

A afirmação é falsa, com contraexemplo m=2, n=3, k=2, pois 10 ≠ 4.

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