Exercício 2 (2 pontos) Encontre um vetor unitário que seja ortogonal tanto a u=(-2,1,0) quanto a v=(2,0,-1).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um vetor unitário que seja ortogonal aos vetores
\,u=(-2,1,0) e \,v=(2,0,-1).
O conteúdo principal aqui é o produto vetorial em \mathbb{R}^3, que nos dá um vetor perpendicular aos dois dados.

Passo 2

Lembrando que o produto vetorial de
\vec u=(u_1,u_2,u_3) e \vec v=(v_1,v_2,v_3) em \mathbb{R}^3 é
\vec u \times \vec v = \bigl(u_2v_3 - u_3v_2,\;u_3v_1 - u_1v_3,\;u_1v_2 - u_2v_1\bigr).
Esse vetor é ortogonal a \vec u e a \vec v.

Passo 3

Aplicando aos nossos vetores \vec u=(-2,1,0) e \vec v=(2,0,-1), temos
\vec u\times\vec v = \bigl(1\cdot(-1) - 0\cdot0,\;0\cdot2 - (-2)\cdot(-1),\;(-2)\cdot0 - 1\cdot2\bigr) = (-1,-2,-2).

Passo 4

Calculamos o módulo de \vec u\times\vec v:
\bigl\|\vec u\times\vec v\bigr\| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3.

Passo 5

Para obter um vetor unitário, dividimos \vec u\times\vec v por seu módulo:
\frac{\vec u\times\vec v}{\|\vec u\times\vec v\|} = \Bigl(-\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\Bigr).

Resposta

\displaystyle \Bigl(-\tfrac{1}{3},-\tfrac{2}{3},-\tfrac{2}{3}\Bigr)

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