Dados o cilindro S: 4 x^{2}+y^{2}=1 e o plano \pi: 4 x+4 y+z=16,
(a) encontre uma parametrização da curva C=S \bigcap \pi;
(b) determine as equações paramétricas da reta tangente à curva C no ponto P=\left(\frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2}, 16-3 \sqrt{2}\right).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • Cilindro S com equação 4x^{2}+y^{2}=1.
    • Plano \pi com equação 4x+4y+z=16.
    • Ponto P=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4},\dfrac{\sqrt{2}}{2},16-3\sqrt{2}\right).
  • Perguntas:
    (a) Encontrar uma parametrização da curva C=S\cap\pi.
    (b) Determinar as equações paramétricas da reta tangente à curva C no ponto P.

Passo 2

Entender a curva C. A equação do cilindro não envolve z, então a interseção com o plano é uma curva que, projetada no plano xy, é a elipse dada por 4x^{2}+y^{2}=1.
Convém escrever a elipse na forma padrão dividindo por 1: \frac{x^{2}}{(1/2)^{2}}+\frac{y^{2}}{1^{2}}=1,
ou seja, sem explicitamente, os semi-eixos são a=\tfrac{1}{2} (direção x) e b=1 (direção y). Uma parametrização padrão de uma elipse com esses semi-eixos é
x(t)=a\cos t,\qquad y(t)=b\sin t,
porque \cos^{2}t+\sin^{2}t=1 garante que a equação da elipse seja satisfeita. Aqui t varia em [0,2\pi).

Passo 3

Aplicando a parametrização padrão com a=\tfrac{1}{2} e b=1, escolhemos
x(t)=\frac{1}{2}\cos t,\qquad y(t)=\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
Agora obtemos z pela equação do plano \pi. Da equação do plano segue
z=16-4x-4y.
Substituindo x(t) e y(t) obtemos
z(t)=16-4\left(\frac{1}{2}\cos t\right)-4(\sin t)=16-2\cos t-4\sin t.
Portanto uma parametrização da curva C é a função vetor
\mathbf{r}(t)=\left(\frac{1}{2}\cos t,\;\sin t,\;16-2\cos t-4\sin t\right),\qquad t\in[0,2\pi).

Passo 4

Verificar que o ponto P pertence à curva parametrizada e encontrar o parâmetro t_{0} correspondente a P. Comparando as coordenadas x e y de P com x(t) e y(t):
\frac{1}{2}\cos t=\frac{\sqrt{2}}{4}\quad\Rightarrow\quad \cos t=\frac{\sqrt{2}}{2},
\sin t=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Esses valores correspondem a t_{0}=\dfrac{\pi}{4} (no intervalo [0,2\pi)). Agora confirmamos z:
z\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=16-2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)-4\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) =16-2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} =16-\frac{2\sqrt{2}}{2}-\frac{4\sqrt{2}}{2}=16-\frac{6\sqrt{2}}{2}=16-3\sqrt{2},
que é exatamente a coordenada z de P. Logo P=\mathbf{r}\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right).

Passo 5

Construir a reta tangente: teoria rápida e aplicada. Se \mathbf{r}(t) é uma parametrização suave da curva, então o vetor \mathbf{r}'(t) é um vetor tangente à curva no ponto \mathbf{r}(t). Assim a reta tangente em P=\mathbf{r}(t_{0}) pode ser escrita como
\mathbf{\ell}(s)=\mathbf{r}(t_{0})+s\,\mathbf{r}'(t_{0}),\qquad s\in\mathbb{R},
onde \mathbf{r}'(t_{0}) é a direção da reta tangente.

Passo 6

Calcular \mathbf{r}'(t) e avalia-la em t_{0}=\dfrac{\pi}{4}. Derivando componente a componente:
\mathbf{r}'(t)=\left(-\frac{1}{2}\sin t,\;\cos t,\;2\sin t-4\cos t\right).
Agora em t_{0}=\dfrac{\pi}{4} temos \sin t_{0}=\cos t_{0}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Portanto
\mathbf{r}'\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=\left(-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2},\;\frac{\sqrt{2}}{2},\;2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-4\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\right) =\left(-\frac{1}{2\sqrt{2}},\;\frac{\sqrt{2}}{2},\;-\frac{2\sqrt{2}}{2}\right).
Simplificando cada componente:
-\frac{1}{2\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{4},\qquad \frac{\sqrt{2}}{2},\qquad -\frac{2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}.
Logo um vetor diretor da tangente é
\mathbf{v}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{4},\;\frac{\sqrt{2}}{2},\;-\sqrt{2}\right).
Como direção é importante apenas até escala, podemos multiplicar \mathbf{v} por \dfrac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2} para obter um vetor com entradas inteiras:
\mathbf{v}_{0}=\left(-1,\,2,\,-4\right).

Passo 7

Escrever as equações paramétricas da reta tangente usando o ponto P e o vetor diretor \mathbf{v}_{0}=(-1,2,-4). Na forma vetorial:
\mathbf{\ell}(s)=\left(\frac{\sqrt{2}}{4},\;\frac{\sqrt{2}}{2},\;16-3\sqrt{2}\right)+s(-1,2,-4),\qquad s\in\mathbb{R}.
Em coordenadas paramétricas (componentes):
x(s)=\frac{\sqrt{2}}{4}-s,\qquad y(s)=\frac{\sqrt{2}}{2}+2s,\qquad z(s)=16-3\sqrt{2}-4s,\qquad s\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{r}(t)=\left(\frac{1}{2}\cos t,\;\sin t,\;16-2\cos t-4\sin t\right),\quad t\in[0,2\pi).
(b) \displaystyle \mathbf{\ell}(s)=\left(\frac{\sqrt{2}}{4},\;\frac{\sqrt{2}}{2},\;16-3\sqrt{2}\right)+s(-1,2,-4),\quad s\in\mathbb{R}.

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