Dados o cilindro
e o plano
,
(a) encontre uma parametrização da curva
;
(b) determine as equações paramétricas da reta tangente à curva
no ponto
.
(a) encontre uma parametrização da curva
(b) determine as equações paramétricas da reta tangente à curva
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados:
- Cilindro
com equação - Plano
com equação - Ponto
.
- Cilindro
-
Perguntas:
(a) Encontrar uma parametrização da curva.
(b) Determinar as equações paramétricas da reta tangente à curvano ponto .
Passo 2
Entender a curva
. A equação do cilindro não envolve
, então a interseção com o plano é uma curva que, projetada no plano
, é a elipse dada por
Convém escrever a elipse na forma padrão dividindo por
:
ou seja, sem explicitamente, os semi-eixos são
(direção
) e
(direção
). Uma parametrização padrão de uma elipse com esses semi-eixos é
porque
garante que a equação da elipse seja satisfeita. Aqui
varia em
.
Passo 3
Aplicando a parametrização padrão com
e
, escolhemos
Agora obtemos
pela equação do plano
. Da equação do plano segue
Substituindo
e
obtemos
Portanto uma parametrização da curva
é a função vetor
Passo 4
Verificar que o ponto
pertence à curva parametrizada e encontrar o parâmetro
correspondente a
. Comparando as coordenadas
e
de
com
e
:
Esses valores correspondem a
(no intervalo
). Agora confirmamos
:
que é exatamente a coordenada
de
. Logo
.
Passo 5
Construir a reta tangente: teoria rápida e aplicada. Se
é uma parametrização suave da curva, então o vetor
é um vetor tangente à curva no ponto
. Assim a reta tangente em
pode ser escrita como
onde
é a direção da reta tangente.
Passo 6
Calcular
e avalia-la em
. Derivando componente a componente:
Agora em
temos
. Portanto
Simplificando cada componente:
Logo um vetor diretor da tangente é
Como direção é importante apenas até escala, podemos multiplicar
por
para obter um vetor com entradas inteiras:
Passo 7
Escrever as equações paramétricas da reta tangente usando o ponto
e o vetor diretor
. Na forma vetorial:
Em coordenadas paramétricas (componentes):
Resposta
(a)
(b)