Teste a convergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cos (n)}{n^{2}};

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\cos(n)}{n^{2}}.
Informações dadas que vamos usar:
  • Cada termo geral é a_n=\dfrac{(-1)^{n}\cos(n)}{n^{2}}.
  • Queremos saber se a série converge ou diverge (e, se possível, se converge absolutamente ou condicionalmente).

Passo 2

Conceito importante (aula curta e direta): convergência absoluta.
  • Dizemos que uma série \sum a_n converge absolutamente se a série dos valores absolutos \sum |a_n| converge.
  • Teorema útil: se \sum |a_n| converge, então \sum a_n converge (ou seja, convergência absoluta implica convergência).
    Vou usar esse caminho porque é bem direto: mostrar que \sum |a_n| converge resolve o problema.

Passo 3

Ferramenta que vamos usar: teste da comparação e o fato sobre séries-p.
  • Teste da comparação (forma simples): se 0\leq u_n\leq v_n para todo n suficientemente grande e \sum v_n converge, então \sum u_n converge.
  • Série-p: a série \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. Em particular, para p=2 temos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}
converge (pode-se ver isso pelo teste da integral: \displaystyle\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^{2}}\,dx=1, finito).

Passo 4

Apliquei isso ao nosso termo geral:
  • Primeiro calcule o valor absoluto do termo:
|a_n|=\left|\frac{(-1)^{n}\cos(n)}{n^{2}}\right|=\frac{|\cos(n)|}{n^{2}}.
  • Observação simples: para todo n temos 0\leq |\cos(n)|\leq 1. Portanto
0\leq \frac{|\cos(n)|}{n^{2}} \leq \frac{1}{n^{2}}.

Passo 5

Agora uso o teste da comparação:
  • Como \dfrac{1}{n^{2}} é o termo de uma série que converge (série-p com p=2), e \dfrac{|\cos(n)|}{n^{2}}\le \dfrac{1}{n^{2}} para todo n, pelo teste da comparação a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{|\cos(n)|}{n^{2}}
converge.

Passo 6

Concluo (passo lógico final antes da resposta): se \sum |a_n| converge, então \sum a_n converge por convergência absoluta. Um comentário prático: isso vale independente do comportamento oscilatório de \cos(n) ou do fator (-1)^n; o que importa é que o denominador n^2 é forte o bastante para dominar os numeradores limitados por 1.

Passo 7

Dica rápida e encorajamento: séries do tipo \sum \dfrac{\text{função limitada}(n)}{n^{2}}çã geralmente convergem absolutamente porque a função limitada fica dentro de uma constante e \sum 1/n^{2} converge. Por exemplo, \sum \dfrac{\sin(n)}{n^{2}} também converge absolutamente. Força aí, você já está entendendo o esquema — dominar comparação + séries-p resolve muita coisa!

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

Exercícios relacionados