Seja
um domínio de integridade e
. Mostre que:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- Dado:
é um domínio de integridade (ou seja, um anel comutativo sem divisores de zero) e . - Pedido: mostrar que
- Observação sobre convenção: vou usar a convenção natural de que a
do polinômio zero é (assim é menor que qualquer grau finito), o que facilita enunciar desigualdades envolvendo o polinômio zero.
Passo 2
Definições e ideias básicas que vamos usar (aula rápida e amigável).
- Para um polinômio
, é o maior expoente cuja coeficiente é não nulo. Escrevendo com , temos e é o coeficiente dominante (ou líder). - Se
for o polinômio zero, então todos os coeficientes são zero e adotamos . - Intuição: ao somar dois polinômios, os termos de maior grau podem se cancelar só se eles tiverem o mesmo grau e os coeficientes dominantes somarem para zero; caso contrário, o termo de maior grau sobrevive na soma.
Passo 3
Escrever
e
com seus graus e coeficientes dominantes.
- Seja
e . - Então podemos escrever
com
se
e
se
. (Se algum dos polinômios for o zero, tratamos esse caso separadamente.)
Passo 4
Caso em que um grau é estritamente maior que o outro (sem mistério).
- Suponha
. Então o coeficiente de em é (pois tem grau ). Portanto o coeficiente de em é , que é não nulo. Logo . Como , temos . - O caso
é análogo (troca os papéis de e ) e dá .
Passo 5
Caso em que os graus são iguais (a possibilidade de cancelamento).
- Suponha
. Então o termo de maior grau em é o de com coeficiente . - Se
, então , e portanto . - Se
, os termos de grau se cancelam e o grau de fica estritamente menor que , isto é . Assim .
Passo 6
Concluir juntando os casos e comentar sobre o uso do domínio de integridade.
- Dos casos
, e concluímos que sempre vale
- Observação: para esta desigualdade não precisamos de propriedades fortes do anel além de termos coeficientes bem definidos (a propriedade de domínio de integridade é mais relevante em outras identidades envolvendo graus, por exemplo
). Aqui a razão é só que termos de grau maior que o outro não têm com quem cancelar, e termos de mesmo grau cancelam somente se os coeficientes somarem zero.
Passo 7
Exemplo para fixar a intuição (rápido e prático).
- Ex.:
e . Aqui . O soma é com . Os termos se cancelaram porque os coeficientes e somaram zero. Isso ilustra o subcaso com cancelamento.