Seja D um domínio de integridade e f(x), g(x) \in D[x]. Mostre que:
\operatorname{gr}(f+g) \leq \max \{\operatorname{gr} f, \operatorname{gr} g\}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: D é um domínio de integridade (ou seja, um anel comutativo sem divisores de zero) e f(x),g(x)\in D[x].
  • Pedido: mostrar que
\operatorname{gr}(f+g)\le \max\{\operatorname{gr} f,\operatorname{gr} g\}.
  • Observação sobre convenção: vou usar a convenção natural de que a \operatorname{gr} do polinômio zero é -\infty (assim -\infty é menor que qualquer grau finito), o que facilita enunciar desigualdades envolvendo o polinômio zero.

Passo 2

Definições e ideias básicas que vamos usar (aula rápida e amigável).
  • Para um polinômio h(x)\in D[x], \operatorname{gr} h é o maior expoente cuja coeficiente é não nulo. Escrevendo h(x)=c_k x^k + c_{k-1}x^{k-1}+\cdots+c_0 com c_k\neq 0, temos \operatorname{gr} h=k e c_k é o coeficiente dominante (ou líder).
  • Se h for o polinômio zero, então todos os coeficientes são zero e adotamos \operatorname{gr} h=-\infty.
  • Intuição: ao somar dois polinômios, os termos de maior grau podem se cancelar só se eles tiverem o mesmo grau e os coeficientes dominantes somarem para zero; caso contrário, o termo de maior grau sobrevive na soma.

Passo 3

Escrever f e g com seus graus e coeficientes dominantes.
  • Seja m=\operatorname{gr} f e n=\operatorname{gr} g.
  • Então podemos escrever
f(x)=a_m x^m + a_{m-1}x^{m-1}+\cdots + a_0,
g(x)=b_n x^n + b_{n-1}x^{n-1}+\cdots + b_0,
com a_m\neq 0 se m>-\infty e b_n\neq 0 se n>-\infty. (Se algum dos polinômios for o zero, tratamos esse caso separadamente.)

Passo 4

Caso em que um grau é estritamente maior que o outro (sem mistério).
  • Suponha m>n. Então o coeficiente de x^m em g é 0 (pois g tem grau n<m). Portanto o coeficiente de x^m em f+g é a_m+0=a_m, que é não nulo. Logo \operatorname{gr}(f+g)=m. Como m=\max\{m,n\}, temos \operatorname{gr}(f+g)=m\le \max\{m,n\}.
  • O caso n>m é análogo (troca os papéis de f e g) e dá \operatorname{gr}(f+g)=n=\max\{m,n\}.

Passo 5

Caso em que os graus são iguais (a possibilidade de cancelamento).
  • Suponha m=n. Então o termo de maior grau em f+g é o de x^m com coeficiente a_m+b_m.
  • Se a_m+b_m\neq 0, então \operatorname{gr}(f+g)=m, e portanto \operatorname{gr}(f+g)=m=\max\{m,n\}.
  • Se a_m+b_m=0, os termos de grau m se cancelam e o grau de f+g fica estritamente menor que m, isto é \operatorname{gr}(f+g)<m. Assim \operatorname{gr}(f+g)\le m=\max\{m,n\}.

Passo 6

Concluir juntando os casos e comentar sobre o uso do domínio de integridade.
  • Dos casos m>n, n>m e m=n concluímos que sempre vale
\operatorname{gr}(f+g)\le \max\{m,n\}=\max\{\operatorname{gr} f,\operatorname{gr} g\}.
  • Observação: para esta desigualdade não precisamos de propriedades fortes do anel além de termos coeficientes bem definidos (a propriedade de domínio de integridade é mais relevante em outras identidades envolvendo graus, por exemplo \operatorname{gr}(fg)=\operatorname{gr} f+\operatorname{gr} g). Aqui a razão é só que termos de grau maior que o outro não têm com quem cancelar, e termos de mesmo grau cancelam somente se os coeficientes somarem zero.

Passo 7

Exemplo para fixar a intuição (rápido e prático).
  • Ex.: f(x)=x^2+1 e g(x)=-x^2+2x. Aqui \operatorname{gr} f=2,\operatorname{gr} g=2. O soma é f+g=2x+1 com \operatorname{gr}(f+g)=1\le 2. Os termos x^2 se cancelaram porque os coeficientes 1 e -1 somaram zero. Isso ilustra o subcaso m=n com cancelamento.

Resposta

\operatorname{gr}(f+g)\le \max\{\operatorname{gr} f,\operatorname{gr} g\}.

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