Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores das correspondentes matrizes: \quad v=(2,1),\left[\begin{array}{ll}4 & 5 \\\\ 2 & 1\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para verificar, usando a definição, se o vetor \,v=(2,1) é autovetor da matriz
Dados relevantes: \,v=(2,1) e A conforme acima. A pergunta é: existe um escalar \lambda tal que A v = \lambda v?]
Passo 2
Definição (explicada com calma): um vetor não nulo \,v é autovetor de uma matriz A se existir um número \lambda — chamado autovalor — tal que
A v = \lambda v.
Aqui \,A v é o produto matriz-por-vetor: multiplicamos linhas de A pelas coordenadas de v e somamos. As coordenadas resultantes devem ser exatamente as coordenadas de v multiplicadas pelo mesmo escalar \lambda. Se as duas coordenadas exigirem valores diferentes de \lambda, então não existe \lambda comum e v não é autovetor.
Passo 3
Calcular A v fazendo o produto linha por coluna (mostro cada conta para você poder reproduzir na prova):
primeira coordenada de A v:
4\cdot 2 + 5\cdot 1 = 8 + 5 = 13.
segunda coordenada de A v:
2\cdot 2 + 1\cdot 1 = 4 + 1 = 5.
Portanto
A v = \left[\begin{array}{c}13 \\[4pt] 5\end{array}\right].]
Passo 4
Agora equacionamos com a definição: se v fosse autovetor, existiria \lambda com
A v = \lambda v.
Escrevendo componente a componente:
primeira componente:
Compare os dois valores de \lambda obtidos: \frac{13}{2}=6{,}5 e 5. Eles não são iguais, portanto não existe um único escalar \lambda que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Isso significa que não há \lambda tal que A v = \lambda v.
Passo 6
Conclusão: o vetor \,v=(2,1) não é autovetor da matriz A. Para fixar a ideia, um exemplo rápido de caso positivo: se B=\left[\begin{array}{cc}3&0\\[4pt]0&2\end{array}\right] e w=(1,0), então
B w = \left[\begin{array}{c}3\\[4pt]0\end{array}\right]=3\left[\begin{array}{c}1\\[4pt]0\end{array}\right]=3w,
logo w é autovetor de B com autovalor 3. Isso mostra a diferença: no nosso problema, as componentes deram autovalores distintos, por isso falhou.]
Resposta
Não, v=(2,1) não é autovetor da matriz \left[\begin{array}{cc}4 & 5 \\[4pt] 2 & 1\end{array}\right].]