Verificar, utilizando a definição, se os vetores dados são autovetores das correspondentes matrizes: v=(1,1,3),\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 2 & 3\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede que eu verifique, usando a definição de autovetor, se o vetor v=(1,1,3) é autovetor da matriz
Informações dadas: \;v=(1,1,3) e A conforme acima.
A pergunta é: será que existe escalar \lambda tal que A v = \lambda v?]
Passo 2
Recordando a definição (aula rápida): dizemos que um vetor v é autovetor de uma matriz A se existe um escalar \lambda (chamado autovalor) tal que
A v = \lambda v.
Aqui A v é o produto matriz-vetor (resultado é um vetor). O que isso significa na prática é que a ação de A sobre v apenas alonga/encolhe/ (e possivelmente inverte) v, sem mudar sua direção — isto é, A v deve ser proporcional a v. Para checar, calculamos A v e vemos se todas as componentes resultantes são múltiplos da mesma \lambda.
Passo 3
Vou calcular A v componente a componente usando definição de produto linha por coluna. Escrevo v como vetor coluna:
v=\begin{pmatrix}1\\[4pt]1\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Multiplicando A por v:
1ª componente (primeira linha de A · v):
1\cdot 1 + 1\cdot 1 + 1\cdot 3 = 1+1+3 = 5.
2ª componente (segunda linha de A · v):
0\cdot 1 + 2\cdot 1 + 1\cdot 3 = 0+2+3 = 5.
3ª componente (terceira linha de A · v):
0\cdot 1 + 2\cdot 1 + 3\cdot 3 = 0+2+9 = 11.
Portanto
A v = \begin{pmatrix}5\\[4pt]5\\[4pt]11\end{pmatrix}.]
Passo 4
Agora verifico se existe \lambda tal que A v = \lambda v. Se isso ocorrer, então cada componente satisfaz
(A v)_i = \lambda v_i.
Das primeiras duas componentes temos
5 = \lambda \cdot 1 \implies \lambda = 5,
5 = \lambda \cdot 1 \implies \lambda = 5,
ou seja, pelas duas primeiras componentes a candidata é \lambda=5. Pela terceira componente teríamos
Como \displaystyle 5 \neq \frac{11}{3}, não existe um único escalar \lambda que satisfaça as três equações simultaneamente.
Passo 5
Conclusão técnica: A v não é proporcional a v, porque as razões entre componentes não são todas iguais. Logo v não satisfaz a definição A v = \lambda v para nenhum escalar \lambda.