Seja D: P_{3}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}) definida por (D p)(x)=p^{\prime}(x). Determine a representação matricial de D em relação às bases canônicas de P_{3}(\mathbb{R}) e P_{2}(\mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear D: P_{3}(\mathbb{R}) \to P_{2}(\mathbb{R}) definida por
(Dp)(x)=p'(x).
O que nos pedem: determinar a matriz de D em relação às bases canônicas de P_{3}(\mathbb{R}) e P_{2}(\mathbb{R}).
As bases canônicas (e a ordem que vou usar) são:
\text{base de }P_{3}(\mathbb{R}):\quad \mathcal{B}=\{1,\;x,\;x^{2},\;x^{3}\},
\text{base de }P_{2}(\mathbb{R}):\quad \mathcal{C}=\{1,\;x,\;x^{2}\}.
A matriz busca-se de forma que cada coluna seja as coordenadas de D aplicada a um vetor da base do domínio, expressas na base do contradomínio.

Passo 2

Calcular D em cada vetor da base do domínio e escrever as coordenadas na base \mathcal{C}.
  • Para 1:
D(1)=0.
Na base \mathcal{C} isso corresponde ao vetor coluna
\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Para x:
D(x)=1.
Na base \mathcal{C} isso corresponde ao vetor coluna
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Para x^{2}:
D(x^{2})=2x.
Na base \mathcal{C} isso corresponde ao vetor coluna
\begin{pmatrix}0\\[4pt]2\\[4pt]0\end{pmatrix}.
  • Para x^{3}:
D(x^{3})=3x^{2}.
Na base \mathcal{C} isso corresponde ao vetor coluna
\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 3

Montar a matriz cujas colunas são os vetores encontrados, nessa ordem (coluna 1 corresponde a 1, coluna 2 a x, etc.). Assim a matriz de D relativa a \mathcal{B} (domínio) e \mathcal{C} (codomínio) é
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Para ver como essa matriz atua em um polinômio genérico, escreva p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}. O vetor de coeficientes em \mathcal{B} é
\begin{pmatrix}a_{0}\\[4pt]a_{1}\\[4pt]a_{2}\\[4pt]a_{3}\end{pmatrix}.
Multiplicando pela matriz obtida, obtemos
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{0}\\[4pt]a_{1}\\[4pt]a_{2}\\[4pt]a_{3}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_{1}\\[4pt]2a_{2}\\[4pt]3a_{3}\end{pmatrix},
que corresponde exatamente ao polinômio derivada p'(x)=a_{1}+2a_{2}x+3a_{3}x^{2}.
Exemplo numérico rápido: para p(x)=2+3x+4x^{2}+5x^{3} o vetor de coeficientes é \begin{pmatrix}2\\\ 3\\\ 4\\\ 5\end{pmatrix} e o produto dá \begin{pmatrix}3\\\ 8\\\ 15\end{pmatrix}, isto é p'(x)=3+8x+15x^{2}, que confere.]

Passo 5

Observações úteis para a prova (rápidas e práticas):
  • A matriz tem dimensão 3\times4.
  • O núcleo (kernel) de D são os polinômios constantes, logo dimensão do núcleo é 1 (coluna zero corresponde a constantes).
  • A imagem tem dimensão 3 (a matriz tem posto 3), ou seja, D é sobrejetora em P_{2}(\mathbb{R}).

Resposta

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}]

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