Seja T: M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) definida por
T(A)=B A-A B,
onde
B=\left(\begin{array}{ll} 1 & 2 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right) .
Determine bases para o núcleo e a imagem.

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T: M_{2\times2}(\mathbb{R})\to M_{2\times2}(\mathbb{R}) definido por
T(A)=BA-AB,
onde
B=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}.
O que é pedido:
  • Determinar uma base para o núcleo de T (ou seja, todos os A tais que T(A)=0).
  • Determinar uma base para a imagem de T (ou seja, o subespaço gerado por todas as matrizes T(A)).
Informações relevantes dadas: a matriz B está explicitada; não há outras restrições sobre A. A resolução seguirá escolhendo a matriz genérica A com entradas arbitrárias e calculando T(A) componente a componente.]

Passo 2

Escolher uma matriz genérica A com entradas reais e indicar o que são as incógnitas. Seja
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
onde a,b,c,d\in\mathbb{R}. Aqui cada letra representa a entrada correspondente de A: a é a entrada (1,1), b é (1,2), c é (2,1) e d é (2,2).]

Passo 3

Calcular BA e AB explicitamente (faço produto de matrizes passo a passo).
BA= \begin{pmatrix}1&2\\[4pt]0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot a + 2\cdot c & 1\cdot b + 2\cdot d \\[4pt] 0\cdot a + 1\cdot c & 0\cdot b + 1\cdot d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+2c & b+2d \\[4pt] c & d\end{pmatrix}.
AB= \begin{pmatrix}a&b\\[4pt]c&d\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&2\\[4pt]0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cdot1 + b\cdot0 & a\cdot2 + b\cdot1 \\[4pt] c\cdot1 + d\cdot0 & c\cdot2 + d\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a & 2a+b \\[4pt] c & 2c+d\end{pmatrix}.]

Passo 4

Subtrair para obter T(A)=BA-AB e simplificar componente a componente.
T(A)= \begin{pmatrix}a+2c & b+2d \\[4pt] c & d\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}a & 2a+b \\[4pt] c & 2c+d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (a+2c)-a & (b+2d)-(2a+b) \\[4pt] c-c & d-(2c+d) \end{pmatrix}.
Calculando cada entrada:
T(A)=\begin{pmatrix}2c & 2d-2a \\[4pt] 0 & -2c\end{pmatrix}.
Fatorando 2:
T(A)=2\begin{pmatrix}c & d-a \\[4pt] 0 & -c\end{pmatrix}.]

Passo 5

Encontrar o núcleo: resolver T(A)=0. A igualdade T(A)=0 equivale a todas as entradas da matriz T(A) serem zero. Das entradas de T(A) obtemos as equações:
2c=0,\qquad 2d-2a=0,\qquad 0=0,\qquad -2c=0.
Simplificando:
c=0,\qquad d-a=0\\ \Rightarrow\\ d=a.
Portanto as matrizes do núcleo são exatamente as matrizes da forma
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] 0 & a\end{pmatrix},
com a,b\in\mathbb{R}. Isso é um espaço vetorial de dimensão 2. Uma base natural é dada escolhendo a=1,b=0 e a=0,b=1. Assim:
\text{Base do núcleo: }\\ \left\{\,\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}\,\right\}.ú
Explicação rápida: a primeira matriz é a identidade I (caso a=1,b=0) e a segunda é a matriz com apenas a entrada (1,2) igual a 1.]

Passo 6

Determinar a imagem: descrever todas as matrizes que podem ser escritas como T(A) para algum A. A expressão obtida em T(A) foi
T(A)=\begin{pmatrix}2c & 2(d-a) \\[4pt] 0 & -2c\end{pmatrix}.
Logo uma matriz M pertence à imagem se e só se tem a forma
M=\begin{pmatrix}\alpha & \beta \\[4pt] 0 & -\alpha\end{pmatrix}
para alguns \alpha,\beta\in\mathbb{R} (basta tomar \alpha=2c e \beta=2(d-a)). Isso mostra que a imagem é o subespaço formado pelas matrizes com entrada (2,1) igual a zero e com a entrada (2,2) sendo o negativo da (1,1). É um subespaço de dimensão 2.
Uma base conveniente para esse subespaço é obtida separando os dois parâmetros \alpha e \beta:
  • para \alpha=1,\beta=0 obtemos \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix};
  • para \alpha=0,\beta=1 obtemos \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.
Portanto:
\text{Base da imagem: }\\ \left\{\,\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}\,\right\}.]

Passo 7

Checagem por dimensão (controle rápido): \dim M_{2\times2}(\mathbb{R})=4. Encontramos \dim\ker T=2 e \dim\operatorname{Im}T=2. Pela fórmula do posto-nulidade (rank-nullity) \dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=4, portanto os resultados são consistentes.

Resposta

Base do núcleo: \left\{\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}\right\}
Base da imagem: \left\{\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&-1\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}\right\}]

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