Seja T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}) definida por
T\left(a+b x+c x^{2}\right)=b+a x+c x^{2} .
Determine a matriz de T na base canônica.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T: P_{2}(\mathbb{R}) \to P_{2}(\mathbb{R}) definida por
T\bigl(a+b x+c x^{2}\bigr)=b+a x+c x^{2}.
O que é pedido: determinar a matriz de T na base canônica de P_{2}(\mathbb{R}).
Informações relevantes fornecidas:
  • Espaço: P_{2}(\mathbb{R}), o espaço dos polinômios de grau no máximo 2.
  • Base canônica (padrão) de P_{2}(\mathbb{R}): \{1,x,x^{2}\}.
  • Regra de T: troca os coeficientes de 1 e de x, preservando o coeficiente de x^{2}.

Passo 2

Lembrete prático: para achar a matriz de uma transformação linear na base canônica, aplicamos T a cada vetor da base e escrevemos as coordenadas do resultado (na mesma base) como colunas da matriz. Ou seja, se a base é \{v_1,v_2,v_3\}, então a matriz [T] tem como colunas as coordenadas de T(v_1),T(v_2),T(v_3).

Passo 3

Identifiquemos explicitamente os vetores da base canônica:
v_1 = 1,\qquad v_2 = x,\qquad v_3 = x^{2}.
Cada um corresponde aos polinômios com coeficientes (a,b,c) assim:
1 \leftrightarrow (1,0,0),\qquad x \leftrightarrow (0,1,0),\qquad x^{2} \leftrightarrow (0,0,1).
Explicando: aqui um triplo (a,b,c) significa o polinômio a + b x + c x^2; essas coordenadas serão as entradas das colunas da matriz.

Passo 4

Aplicar T a cada vetor da base e encontrar suas coordenadas.
  • Aplicando T em v_1=1. Nesse caso a=1,b=0,c=0. Pela definição,
T(1)=T(1+0x+0x^2)=0 + 1\cdot x + 0\cdot x^2 = x.
Escrevendo em coordenadas na base \{1,x,x^2\}, isso é (0,1,0).
  • Aplicando T em v_2=x. Aqui a=0,b=1,c=0. Pela definição,
T(x)=T(0+1x+0x^2)=1 + 0\cdot x + 0\cdot x^2 = 1.
Em coordenadas na base, isso é (1,0,0).
  • Aplicando T em v_3=x^{2}. Aqui a=0,b=0,c=1. Pela definição,
T(x^{2})=T(0+0x+1x^2)=0 + 0\cdot x + 1\cdot x^2 = x^2.
Em coordenadas, isso é (0,0,1).

Passo 5

Agora montamos a matriz tendo as coordenadas encontradas como colunas, na ordem T(v_1),T(v_2),T(v_3). Assim a matriz de T na base canônica é
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Comentário rápido: essa matriz troca as duas primeiras coordenadas (correspondente à troca dos coeficientes de 1 e de x) e deixa a terceira coordenada igual (coeficiente de x^2 permanece).]

Resposta

\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

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