Seja
a região limitada abaixo pelo cone
e acima pelo paraboloide
. Calcule o volume usando uma integral tripla em coordenadas cilíndricas com as seguintes ordens de integração.
Passo 1
O enunciado pede o volume da região D limitada abaixo pelo cone z=√(x²+y²) e acima pelo paraboloide z=2−x²−y², usando coordenadas cilíndricas e a ordem de integração dz dr dθ. Vamos aplicar mudança para coordenadas cilíndricas e identificar os limites apropriados.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos x=r cosθ, y=r sinθ e z=z, e o elemento de volume é dV=r dz dr dθ. As superfícies que limitam D tornam‐se z_inferior=r (cone) e z_superior=2−r² (paraboloide). Para achar o intervalo de r, fazemos r=2−r² ⇒ r²+r−2=0 ⇒ r=1 (descartamos r<0). Assim r varia de 0 a 1 e θ de 0 a 2π.
Passo 3
Montamos a integral tripla na ordem pedida:
Passo 4
Primeiro integramos em z:
Agora em r de 0 a 1:
Passo 5
Por fim, integramos em θ de 0 a 2π: