Seja D a região limitada abaixo pelo cone z= raizx^2+y^2 e acima pelo paraboloide z=2-x^2-y^2. Calcule o volume usando uma integral tripla em coordenadas cilíndricas com as seguintes ordens de integração.
d z d r d theta

Passo 1

O enunciado pede o volume da região D limitada abaixo pelo cone z=√(x²+y²) e acima pelo paraboloide z=2−x²−y², usando coordenadas cilíndricas e a ordem de integração dz dr dθ. Vamos aplicar mudança para coordenadas cilíndricas e identificar os limites apropriados.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos x=r cosθ, y=r sinθ e z=z, e o elemento de volume é dV=r dz dr dθ. As superfícies que limitam D tornam‐se z_inferior=r (cone) e z_superior=2−r² (paraboloide). Para achar o intervalo de r, fazemos r=2−r² ⇒ r²+r−2=0 ⇒ r=1 (descartamos r<0). Assim r varia de 0 a 1 e θ de 0 a 2π.

Passo 3

Montamos a integral tripla na ordem pedida:
V=integralθ=0^2πintegralr=0^1integralz=r^2-r^2r,dz,dr,dθ

Passo 4

Primeiro integramos em z:
integralz=r^2-r^2r,dz = rl[(2-r^2)-rr]=r(2 - r^2 - r)=2r - r^3 - r^2
Agora em r de 0 a 1:
integral0^1(2r - r^2 - r^3),dr = l[r^2 - tfracr^33 - tfracr^44r]0^1 = 1 - tfrac13 - tfrac14 = tfrac512

Passo 5

Por fim, integramos em θ de 0 a 2π:
V = integral0^2π tfrac512 ,dθ = tfrac512cdot 2π = tfrac5π6

Resposta

tfrac5π6

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