Seja
a região limitada abaixo pelo cone
e acima pelo paraboloide
. Calcule o volume usando uma integral tripla em coordenadas cilíndricas com as seguintes ordens de integração.
Passo 1
A gente tem a região D limitada abaixo pelo cone
e acima pelo paraboloide
. O objetivo é calcular o volume usando uma integral tripla em coordenadas cilíndricas com ordem de integração
.
Passo 2
Para encontrar onde as superfícies se cruzam, igualamos
(cone) e
(paraboloide), obtendo
. Dessas raízes,
é relevante, logo a interseção ocorre em
e
.
Passo 3
Como a ordem é
, para cada
fixo queremos limites de
. A condição da região é
e
, então
. O valor de troca é em
. Logo, para
,
vai de 0 a
; para
,
vai de 0 a
. Sempre
de 0 a
.
Passo 4
Escrevendo a integral tripla, temos
Passo 5
Calculando a integral em
,
. Assim, na primeira parte com
fica
; na segunda com
fica
. Integrando em
:
-
. -
.
A soma dá.
Passo 6
Finalmente, integramos em
:
. Multiplicando pelo resultado de
temos
.