Seja D a região limitada abaixo pelo cone z= raizx^2+y^2 e acima pelo paraboloide z=2-x^2-y^2. Calcule o volume usando uma integral tripla em coordenadas cilíndricas com as seguintes ordens de integração.
d r d z d theta

Passo 1

A gente tem a região D limitada abaixo pelo cone z = raizx^2+y^2 e acima pelo paraboloide z = 2 - x^2 - y^2. O objetivo é calcular o volume usando uma integral tripla em coordenadas cilíndricas com ordem de integração dr,dz,dtheta.

Passo 2

Para encontrar onde as superfícies se cruzam, igualamos z = r (cone) e z = 2 - r^2 (paraboloide), obtendo r^2 + r - 2 = 0. Dessas raízes, r = 1 é relevante, logo a interseção ocorre em r = 1 e z = 1.

Passo 3

Como a ordem é dr,dz,dtheta, para cada z fixo queremos limites de r. A condição da região é r <= z e r <= raiz2 - z, então 0<= r <= min(z, raiz2-z). O valor de troca é em z = 1. Logo, para 0<= z<= 1, r vai de 0 a z; para 1<= z<= 2, r vai de 0 a raiz2-z. Sempre theta de 0 a 2pi.

Passo 4

Escrevendo a integral tripla, temos
V = integral0^2piintegral0^1integral0^z r,dr,dz,dtheta ; + ; integral0^2piintegral1^2integral0^raiz2-z r,dr,dz,dtheta.

Passo 5

Calculando a integral em r, integral0^ar,dr = a^2/2. Assim, na primeira parte com a = z fica z^2/2; na segunda com a = raiz2-z fica (2-z)/2. Integrando em z:
  • integral0^1z^2/2,dz = [z^3/6]0^1 = 1/6.
  • integral1^2(2-z)/2,dz = 1/4.
    A soma dá 1/6 + 1/4 = 5/12.

Passo 6

Finalmente, integramos em theta: integral0^2pidtheta = 2pi. Multiplicando pelo resultado de r,z temos V = 2pi cdot (5/12) = 5pi/6.

Resposta

5pi6

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