Use uma integral tripla para determinar o volume de:
O corte em cunha do cilindro x^2+y^2=1 pelos planos z=-y e z=0.

Passo 1

A questão pede o volume do “corte em cunha” do cilindro x^2+y^2=1 pelos planos z=-y e z=0. O conteúdo é cálculo de volume via integral tripla e vamos usar coordenadas polares para simplificar a projeção no plano xy.

Passo 2

Para cada ponto (x,y) na base do cilindro, o plano inferior é z=-y e o superior é z=0. Note que z=-y<=0 só ocorre quando y>=0, então a projeção no plano xy é o semicírculo x^2+y^2<=1 com y>=0.

Passo 3

O volume fica então
V=integral duplaDintegralz=-y^z=01,dz,dA =integral duplaD(0-(-y)),dA =integral duplaDy,dA

Passo 4

Agora passamos para coordenadas polares, onde
x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta,

Passo 5

e o domínio D vira 0<= r<=1 e 0<=theta<=pi. Assim
V=integral0^piintegral0^1(rsintheta),r,dr,dtheta =integral0^pisinthetal(integral0^1r^2,drr)dtheta

Passo 6

Calculando a integral em r:
integral0^1r^2,dr=13,
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V=13integral0^pisintheta,dtheta =13l[-costhetar]0^pi =13(2)=23

Resposta

23

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