Use uma integral tripla em coordenadas cilíndricas para determinar o volume de:
D é o prisma cuja base é o triângulo no plano x y limitado pelo eixo y e pelas linhas y=x e y=1 e cujo topo se encontra no plano z=2-x.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do volume do sólido D cuja base no plano xy é o triângulo delimitado por x=0, y=x e y=1, e cujo topo é dado pelo plano z=2−x. O conteúdo principal é integral tripla em coordenadas cilíndricas, usando a mudança de variáveis x=rcostheta, y=rsintheta e o jacobiano r.

Passo 2

A projeção de D no plano xy é o triângulo com 0≤y≤1 e 0≤x≤y. Em coordenadas polares isso equivale a r>=0, y=rsintheta<=1 (logo r<=1/sintheta) e x=rcostheta<= y=rsintheta (logo theta>=pi/4). Como estamos no primeiro quadrante, theta vai de pi/4 até pi/2.

Passo 3

A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
V = integraltheta=pi/4^pi/2 integralr=0^1/sintheta integralz=0^2 - rcostheta r ,dz,dr,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em z:
integral0^2 - rcostheta r,dz = rl[zr]0^2 - rcostheta = r(2 - rcostheta)

Passo 5

Em seguida, integramos em r:
integral0^1/sintheta l(2r - r^2costhetar),dr = l[r^2 - tfraccostheta3r^3r]0^1/sintheta = 1sin^2theta - costheta3,sin^3theta

Passo 6

Por fim, integramos em theta:
integralpi/4^pi/2l(1sin^2theta - costheta3,sin^3thetar)dtheta = l[-cottheta + 16sin^2thetar]pi/4^pi/2 = 56

Resposta

O volume do sólido é tfrac56.

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