Use uma integral tripla em coordenadas cilíndricas para determinar o volume de:
é o prisma cuja base é o triângulo no plano
limitado pelo eixo
e pelas linhas
e
e cujo topo se encontra no plano
.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do volume do sólido D cuja base no plano xy é o triângulo delimitado por x=0, y=x e y=1, e cujo topo é dado pelo plano z=2−x. O conteúdo principal é integral tripla em coordenadas cilíndricas, usando a mudança de variáveis
,
e o jacobiano
.
Passo 2
A projeção de D no plano xy é o triângulo com 0≤y≤1 e 0≤x≤y. Em coordenadas polares isso equivale a
,
(logo
) e
(logo
). Como estamos no primeiro quadrante,
vai de
até
.
Passo 3
A integral tripla em coordenadas cilíndricas fica:
Passo 4
Integramos primeiro em
:
Passo 5
Em seguida, integramos em
:
Passo 6
Por fim, integramos em
:
Resposta
O volume do sólido é
.