Seja dado um sistema de partículas formado por duas partículas A e B, suas respectivas massas são m_{A} e m_{B}. a partícula A viaja para leste com velocidade \vec{v}_{A}=18 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \hat{x} e a partícula B viaja para oeste com velocidade \vec{v}_{B}=-20 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \hat{x}. Determine a velocidade do Centro de Massa do sistema nos seguintes casos.
a) (0,2) m_{A}=m_{B}=m.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • Duas partículas A e B com massas m_A e m_B.\n
  • Velocidades dadas:\n
    \vec{v}_A=18\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{x} (leste) e \vec{v}_B=-20\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{x} (o sinal negativo indica oeste).\n
  • Pedido: determinar a velocidade do centro de massa do sistema no caso (a) em que m_A=m_B=m.\n

Passo 2

Fórmula do centro de massa (velocidade):\n
\vec{v}_{\mathrm{cm}}=\frac{m_A\vec{v}_A+m_B\vec{v}_B}{m_A+m_B}.\n
Explicação didática: essa fórmula é uma média ponderada das velocidades, onde cada velocidade é ponderada pela massa da respectiva partícula. As massas no numerador representam “quanto” cada partícula contribui para o movimento total; o denominador normaliza pela massa total.

Passo 3

Interpretação dos símbolos na fórmula:\n
  • \vec{v}_{\mathrm{cm}} é a velocidade do centro de massa (vetor).\n
  • m_A e m_B são as massas das partículas A e B.\n
  • \vec{v}_A e \vec{v}_B são as velocidades vetoriais dadas.\n
    O eixo x está orientado para o leste como positivo, por isso velocidade negativa significa direção oeste.

Passo 4

Substituição do caso m_A=m_B=m na fórmula e simplificação:\n
\vec{v}_{\mathrm{cm}}=\frac{m\vec{v}_A+m\vec{v}_B}{m+m}=\frac{m(\vec{v}_A+\vec{v}_B)}{2m}=\frac{\vec{v}_A+\vec{v}_B}{2}.\n
Comentário: quando as massas são iguais, a velocidade do centro de massa é simplesmente a média aritmética das velocidades vetoriais.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos das velocidades:\n
\vec{v}_A+\vec{v}_B=18\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{x}+(-20\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{x})=(18-20)\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{x}=-2\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{x}.\n
Dividindo por 2:\n
\vec{v}_{\mathrm{cm}}=\frac{-2\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{x}}{2}=-1\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{x}.

Passo 6

Interpretação física e checagem rápida:\n
  • O resultado -1\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{x} indica que o centro de massa se move para oeste com velocidade de 1\\ \mathrm{m/s}.\n
  • Intuição: como B vai um pouco mais rápido para oeste ( 20 vs 18 para leste) e as massas são iguais, a média fica ligeiramente para o lado de B, resultando em pequena velocidade para o oeste. Força e energia não foram usadas aqui — é só média ponderada de velocidades.

Resposta

-1\\ \mathrm{m/s}\\ \hat{x}

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