Seja dado o sólido limitado acima pela superfície z=4-x^2-y^2 e abaixo pelo plano xy e limitado ao primeiro octante.
(0.75) Calculo o volume usando integral tripla.

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos achar o volume do sólido que fica acima da superfície z=4 - x^2 - y^2, abaixo do plano z=0 e restrito ao primeiro octante. O conteúdo é volume por integral tripla, projetando o sólido no plano xy e usando coordenadas polares.

Passo 2

O volume pode ser obtido integrando a “altura” zmax-zmin=4 - x^2 - y^2 sobre a região projetada R no plano xy, que é o quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante:
V = ,integral duplaR (4 - x^2 - y^2) ,dA

Passo 3

Para facilitar, vamos trocar para coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta e o Jacobiano é r. Na região restrita ao primeiro octante temos 0<= r<=2 e 0<=theta<=pi/2. Assim:
V = integral0^pi/2 integral0^2 (4 - r^2),r ,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro calcule a integral em r. O integrando fica 4r - r^3, então:
integral0^2(4r - r^3),dr = l[2r^2 - r^44r]0^2 = (8 - 4) =4

Passo 5

Agora resta a integral em theta, que é direta:
integral0^pi/2 4 ,dtheta = 4 cdot pi2 = 2pi

Resposta

2pi

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