Seja dado o sólido limitado acima pela superfície
e abaixo pelo plano xy e limitado ao primeiro octante.
(0.75) Calculo o volume usando integral tripla.
(0.75) Calculo o volume usando integral tripla.
Passo 1
Resumindo o enunciado: precisamos achar o volume do sólido que fica acima da superfície
, abaixo do plano
e restrito ao primeiro octante. O conteúdo é volume por integral tripla, projetando o sólido no plano
e usando coordenadas polares.
Passo 2
O volume pode ser obtido integrando a “altura”
sobre a região projetada
no plano
, que é o quarto de disco de raio 2 no primeiro quadrante:
Passo 3
Para facilitar, vamos trocar para coordenadas polares:
,
e o Jacobiano é
. Na região restrita ao primeiro octante temos
e
. Assim:
Passo 4
Primeiro calcule a integral em
. O integrando fica
, então:
Passo 5
Agora resta a integral em
, que é direta: