Dado que y1(t)=(1 / 4) sen 2 t é uma solução para y^prime prime+2 y^prime+ 4 y^prime=cos 2 t, use o princípio da superposição para encontrar soluções para:
& (a) y^prime prime+2 y^prime+4 y=t+cos 2 t

Passo 1

A equação dada é y'' + 2y' + 4y = t + cos 2t. O conteúdo aqui é EDO linear de 2º ordem com forçantes aditivas, e vamos usar o princípio da superposição: encontrar uma solução particular para cada termo de forçamento ( t e cos 2t) e depois somar.

Passo 2

Para o termo cos 2t, já foi dado que y1(t)=tfrac14sin2t satisfaz y''+2y'+4y=cos2t.

Passo 3

Para o termo t, assumimos uma ansatz polinomial y2(t)=At+B. Então
y2'=A, y2''=0
Substituindo na EDO:
0+2A+4(At+B)=t
Logo
4A,t+(2A+4B)=t
Comparando coeficientes de t e termo constante:
4A=1implies A=tfrac14,
2A+4B=0implies 2cdottfrac14+4B=0implies B=-tfrac18
Assim y2(t)=tfrac14t-tfrac18.

Passo 4

Pela superposição, uma solução particular geral é
yp(t)=y1(t)+y2(t)=tfrac14sin2t+tfrac14t-tfrac18
A solução geral da EDO inclui a homogênea
yh(t)=e^-tl(C1cos(raiz3t)+C2sin(raiz3t)r),
e assim
y(t)=yh(t)+yp(t)

Resposta

y(t)=e^-tl(C1cos(raiz3t)+C2sin(raiz3t)r)+tfrac14t-tfrac18+tfrac14sin2t.

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