Seja
. Defina (escrevendo explicitamente o conjunto de pares ordenados) uma relação em
que seja:
não reflexiva, simétrica, não transitiva.
não reflexiva, simétrica, não transitiva.
Passo 1
O enunciado pede uma relação
, com
, que seja
– não reflexiva,
– simétrica,
– não transitiva.
Para resolver vamos usar as definições de cada propriedade e construir um exemplo de relação que as satisfaça ou viole conforme o pedido.
– não reflexiva,
– simétrica,
– não transitiva.
Para resolver vamos usar as definições de cada propriedade e construir um exemplo de relação que as satisfaça ou viole conforme o pedido.
Passo 2
Relembrando as definições:
– é reflexiva se, para todo
, tivermos
. Logo, para não ser reflexiva basta faltar pelo menos um par
.
– é simétrica se sempre que
então
.
– é transitiva se sempre que
e
então
. Para não ser transitiva basta encontrar um contraexemplo: pares
,
em
sem
.
–
–
–
Passo 3
Uma escolha simples é
Aqui não incluímos nenhum par
, garantido não reflexividade, e cada par vem acompanhado de seu inverso, garantindo simetria.
Passo 4
Verificação das propriedades em
:
– Não reflexiva: faltam ,
e
.
– Simétrica: de fato, e
;
e
.
– Não transitiva: temos e
, mas
.
– Não reflexiva: faltam
– Simétrica: de fato,
– Não transitiva: temos