Seja
. Defina (escrevendo explicitamente o conjunto de pares ordenados) uma relação em
que seja:
reflexiva, simétrica, transitiva.
reflexiva, simétrica, transitiva.
Passo 1
O enunciado pede para definirmos uma relação
em
que seja reflexiva, simétrica e transitiva. Essas três propriedades caracterizam uma relação de equivalência em
.
Passo 2
Vamos lembrar o que significam essas propriedades para
:
– Reflexiva: para todo ,
.
– Simétrica: se então
.
– Transitiva: se e
então
.
– Reflexiva: para todo
– Simétrica: se
– Transitiva: se
Passo 3
A relação mais simples que satisfaz todas essas condições é a relação identidade, isto é,
Passo 4
Verificação:
– Reflexiva: cada aparece em
.
– Simétrica: todos os pares têm coordenadas iguais, logo se então
e
.
– Transitiva: se e
então
e
, logo
e
.
– Reflexiva: cada
– Simétrica: todos os pares têm coordenadas iguais, logo se
– Transitiva: se