Seja f(x, y)=lllx^3+y^3x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0), 0 & se & (x, y)=(0,0)
(a) Calcule o gradiente de f no ponto (0,0).
(b) Seja u=(m, n) um vetor unitário (isto é, m^2+n^2=1 ). Use a definição de derivada direcional para calcular partial fpartial u(0,0).
(c) É f diferenciável em (0,0) ? Justifique.

Passo 1

O enunciado define a função
Pede (a) o gradiente em com , e (c) se é diferenciável em . Vamos usar as definições de derivada parcial e direcional e o critério de diferenciabilidade via aproximação linear.

Passo 2

Calcular partial f/partial x(0,0) e partial f/partial y(0,0) pela definição.
Para partial f/partial x(0,0):
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto0f(h,0)h
Como (h,0)neq(0,0) para hneq0,
f(h,0)=h^3+0h^2+0=h,
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f(h,0)h=hh=1 para hneq0,
e portanto partial f/partial x(0,0)=1.
Análogo para partial f/partial y(0,0), trocando x por y, dá também 1.
Logo
nabla f(0,0)=(1,1)

Passo 3

Calcular a derivada direcional de f em (0,0) na direção vec u=(m,n). Pela definição,
partial fpartial vec u(0,0) =limtto0f(tm,tn)-f(0,0)t =limtto0f(tm,tn)t
Para tneq0 temos
f(tm,tn) =(tm)^3+(tn)^3(tm)^2+(tn)^2 =t^3(m^3+n^3)t^2(m^2+n^2) =t,(m^3+n^3)
e como m^2+n^2=1 segue
f(tm,tn)t=m^3+n^3
Portanto
partial fpartial vec u(0,0)=m^3+n^3

Passo 4

Verificar diferenciabilidade em (0,0). Se f fosse diferenciável, deveríamos ter
partial fpartial vec u(0,0) =nabla f(0,0)cdotvec u =(1,1)cdot(m,n)=m+n
para todo vetor unitário vec u. Mas encontramos
partial fpartial vec u(0,0)=m^3+n^3,
que não coincide com m+n em geral. Logo f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

(a) nabla f(0,0)=(1,1).
(b) partial fpartial vec u(0,0)=m^3+n^3
(c) f não é diferenciável em (0,0), pois as derivadas direcionais não formam um mapeamento linear compatível com o gradiente.

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