Seja
(a) Calcule o gradiente de f no ponto (0,0).
(b) Seja u=(m, n) um vetor unitário (isto é, m^2+n^2=1 ). Use a definição de derivada direcional para calcular partial fpartial u(0,0).
(c) É f diferenciável em (0,0) ? Justifique.
Passo 1
O enunciado define a função
Pede (a) o gradiente em com , e (c) se é diferenciável em . Vamos usar as definições de derivada parcial e direcional e o critério de diferenciabilidade via aproximação linear.
Passo 2
Calcular partial f/partial x(0,0) e partial f/partial y(0,0) pela definição.
Para partial f/partial x(0,0):
Verificar diferenciabilidade em (0,0). Se f fosse diferenciável, deveríamos ter
partial fpartial vec u(0,0) =nabla f(0,0)cdotvec u =(1,1)cdot(m,n)=m+n
para todo vetor unitário vec u. Mas encontramos
partial fpartial vec u(0,0)=m^3+n^3,
que não coincide com m+n em geral. Logo f não é diferenciável em (0,0).
Resposta
(a) nabla f(0,0)=(1,1).
(b) partial fpartial vec u(0,0)=m^3+n^3
(c) f não é diferenciável em (0,0), pois as derivadas direcionais não formam um mapeamento linear compatível com o gradiente.