Seja
como
, definida por:
Mostre que
é integrável.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f $ definida no intervalo
onde $ a < 0 < b $. A função é dada por:
A tarefa é mostrar que essa função $ f $ é integrável no intervalo
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de integrabilidade, continuidade e comportamento das funções no ponto onde pode haver descontinuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser integrável no sentido de Riemann. Uma função é integrável em um intervalo se ela é limitada nesse intervalo e o conjunto de seus pontos de descontinuidade tem medida zero.
Passo 3
Vamos verificar se a função $ f $ é limitada no intervalo
. Sabemos que $ \cos\left(\frac{1}{x}\right) $ está sempre entre -1 e 1 para qualquer $ x \neq 0 $. Portanto:
Como $ x $ está no intervalo
e $ a $ e $ b $ são números finitos, $ |x| $ também é limitado. Logo, $ f(x) $ é uma função limitada nesse intervalo.
Passo 4
Agora, vamos analisar a continuidade da função $ f $ no intervalo
. Para $ x \neq 0 $, a função $ f(x) = x \cos\left(\frac{1}{x}\right) $ é a composição de funções contínuas, então $ f $ é contínua para todo $ x \neq 0 $.
No ponto $ x = 0 $, precisamos verificar se $ f $ é contínua. Calculamos o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0:
Sabemos que $ \cos\left(\frac{1}{x}\right) $ está entre -1 e 1, então:
Aplicando o teorema do sanduíche (ou teorema da comparação), temos que:
Portanto, $ f $ é contínua em $ x = 0 $.
Passo 5
Como $ f $ é contínua em todo o intervalo
, incluindo $ x = 0 $, concluímos que $ f $ é contínua no intervalo fechado
.
Passo 6
Sabemos que toda função contínua em um intervalo fechado e limitado é integrável no sentido de Riemann. Isso é garantido pelo teorema da integrabilidade para funções contínuas.
Resposta
Portanto, a função $ f $ é integrável no intervalo
.