Seja f:[a, b] R como a<0, definida por:
f(x)=ll x cos (1x), & se x in[a, b] e x neq 0 0, & se x=0
Mostre que f é integrável.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função $ f $ definida no intervalo f onde $ a < 0 < b $. A função é dada por:
[a, b]
A tarefa é mostrar que essa função $ f $ é integrável no intervalo a < 0 < b . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de integrabilidade, continuidade e comportamento das funções no ponto onde pode haver descontinuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser integrável no sentido de Riemann. Uma função é integrável em um intervalo se ela é limitada nesse intervalo e o conjunto de seus pontos de descontinuidade tem medida zero.

Passo 3

Vamos verificar se a função $ f $ é limitada no intervalo f . Sabemos que $ \cos\left(\frac{1}{x}\right) $ está sempre entre -1 e 1 para qualquer $ x \neq 0 $. Portanto:
[a, b]
Como $ x $ está no intervalo cos(1x) e $ a $ e $ b $ são números finitos, $ |x| $ também é limitado. Logo, $ f(x) $ é uma função limitada nesse intervalo.

Passo 4

Agora, vamos analisar a continuidade da função $ f $ no intervalo f . Para $ x \neq 0 $, a função $ f(x) = x \cos\left(\frac{1}{x}\right) $ é a composição de funções contínuas, então $ f $ é contínua para todo $ x \neq 0 $.
No ponto $ x = 0 $, precisamos verificar se $ f $ é contínua. Calculamos o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0:
[a, b]
Sabemos que $ \cos\left(\frac{1}{x}\right) $ está entre -1 e 1, então:
x neq 0
Aplicando o teorema do sanduíche (ou teorema da comparação), temos que:
f(x) = x cos(1x)
Portanto, $ f $ é contínua em $ x = 0 $.

Passo 5

Como $ f $ é contínua em todo o intervalo f , incluindo $ x = 0 $, concluímos que $ f $ é contínua no intervalo fechado [a, b].

Passo 6

Sabemos que toda função contínua em um intervalo fechado e limitado é integrável no sentido de Riemann. Isso é garantido pelo teorema da integrabilidade para funções contínuas.

Resposta

Portanto, a função $ f $ é integrável no intervalo f .

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