Seja f definida do retângulo Q = [-1, 1] x [-1, 1] por
f(x) = { x^2 + y^2, se x^2 + y^2 <= 1; 0, caso contrário }á
Calcule o volume abaixo de f e acima do retângulo Q.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume abaixo da função e acima do retângulo . A função é definida de duas formas: é dentro da circunferência de raio 1 (ou seja, onde ) e zero fora dela. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar o volume desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região em que é diferente de zero. A condição define um círculo de raio 1 centrado na origem. Então, dentro desse círculo, a função é , e fora, ela é zero. Nosso objetivo é integrar sobre toda a área do retângulo .

Passo 3

Como a função é zero fora do círculo, na prática, só precisamos integrar dentro do círculo de raio 1. Para facilitar a integração nessa região circular, é melhor mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, e , e a área infinitesimal se transforma em .

Passo 4

Vamos expressar a função em coordenadas polares:
E a integral para o volume fica:
Aqui, o extra vem do jacobiano da transformação para coordenadas polares.

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Resposta

O volume abaixo de e acima do retângulo é .

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