Seja
definida do retângulo
por
Calcule o volume abaixo de
e acima do retângulo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o volume abaixo da função
e acima do retângulo
. A função
é definida de duas formas: é
dentro da circunferência de raio 1 (ou seja, onde
) e zero fora dela. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrais duplas, para encontrar o volume desejado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região em que
é diferente de zero. A condição
define um círculo de raio 1 centrado na origem. Então, dentro desse círculo, a função é
, e fora, ela é zero. Nosso objetivo é integrar
sobre toda a área do retângulo
.
Passo 3
Como a função é zero fora do círculo, na prática, só precisamos integrar
dentro do círculo de raio 1. Para facilitar a integração nessa região circular, é melhor mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares,
e
, e a área infinitesimal
se transforma em
.
Passo 4
Vamos expressar a função
em coordenadas polares:
E a integral para o volume fica:
Aqui, o
extra vem do jacobiano da transformação para coordenadas polares.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
O volume abaixo de
e acima do retângulo
é
.