Sejam a e b constantes positivas.
Encontre os valores extremos de z = x / a + y / b sujeita a condição x^2 + y^2 = 1.
Em cada caso, interprete o problema geometricamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da expressão , onde e são constantes positivas. A condição que temos é , que representa um círculo de raio 1 no plano. Para resolver isso, vamos usar um método de otimização com restrição, ou seja, vamos descobrir os pontos no círculo onde atinge seus valores extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos maximizar ou minimizar dentro do círculo . Uma maneira de fazer isso é usar Lagrange Multipliers, que é uma técnica para encontrar os extremos de uma função sujeita a uma restrição.

Passo 3

Vamos definir a função que queremos otimizar:
E a restrição é:
O método dos multiplicadores de Lagrange nos diz que, no ponto extremo, o gradiente de é proporcional ao gradiente de :

Passo 4

Calculando os gradientes:
Então, temos:
Isso nos dá duas equações:

Passo 5

Vamos resolver para e em termos de :
Agora, substituímos essas expressões na restrição :
Multiplicando ambos os lados por :
Então:

Passo 6

Agora, vamos substituir de volta nas expressões de e :
Para :
Simplificando:

Passo 7

Para , teremos:
Então, temos dois pontos críticos:

Passo 8

Agora, vamos calcular os valores de nesses pontos:
Para o primeiro ponto:
Para o segundo ponto:

Resposta

Os valores extremos de sujeitos à condição são:
  • Máximo:
  • Mínimo:
Geometricamente, isso significa que a reta atinge seus pontos mais altos e mais baixos tangenciando o círculo nos pontos onde é máximo e mínimo, respectivamente.

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