Usando a regra da cadeia, diferencie:
f(x) = e^(t(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa diferenciá-la usando a regra da cadeia. A regra da cadeia é uma técnica de derivação que usamos quando temos funções compostas, ou seja, uma função dentro da outra. Então, pra resolver isso, vamos precisar entender como aplicar essa regra passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão compostas aqui. Temos a função exponencial , onde . Então, basicamente, é a composição dessas duas funções.

Passo 3

A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta é igual à derivada da função externa avaliada na interna vezes a derivada da função interna. Matematicamente, isso é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Vamos calcular a derivada da função externa. A derivada de em relação a é simplesmente . Ou seja:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada da função interna . Chamemos essa derivada de , já que não temos a forma explícita de .

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia, juntamos os dois resultados:

Resposta

A derivada de é:

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