Seja f(x, y)=e^x^2-y
Determine, se existem, pontos do domínio cuja imagem seja cada um dos seguintes números reais: 0,1,10.000,-20.

Passo 1

O enunciado pede para achar pontos (x,y) em que f(x,y)=e{x{2}-y} tome valores específicos (0, 1, 10000 e –20). O conteúdo aqui é análise de imagem de função exponencial de duas variáveis e resolver a equação e{x{2}-y}=c para cada c dado.

Passo 2

Como a função exponencial e^{u} é sempre positiva para todo u real, temos f(x,y)=e{x{2}-y}>0. Logo não existem pontos do domínio que façam f(x,y)=0 ou f(x,y)=-20, pois esses valores não estão na imagem de f.

Passo 3

Para f(x,y)=1, escrevemos
e^x^2-y=1
Isso implica que o expoente é zero, ou seja x^{2}-y=0. Assim o conjunto de soluções é dado por
y=x^2
e qualquer x real satisfaz.

Passo 4

Para f(x,y)=10000, fazemos o mesmo:
e^x^2-y=10000
Aplicando ln em ambos os lados, vem x^{2}-y=\ln(10000). Portanto
y=x^2-ln(10000)
com qualquer x real.

Resposta

Não há soluções para f(x,y)=0 nem para f(x,y)=-20. Para f(x,y)=1, todos os pontos satisfazem y=x^{2}. Para f(x,y)=10000, todos os pontos satisfazem y=x^{2}-\ln(10000).

Exercícios relacionados