Seja
Determine, se existem, pontos do domínio cuja imagem seja cada um dos seguintes números reais:
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Determine, se existem, pontos do domínio cuja imagem seja cada um dos seguintes números reais:
Passo 1
O enunciado pede para achar pontos (x,y) em que f(x,y)=e{x{2}-y} tome valores específicos (0, 1, 10000 e –20). O conteúdo aqui é análise de imagem de função exponencial de duas variáveis e resolver a equação e{x{2}-y}=c para cada c dado.
Passo 2
Como a função exponencial e^{u} é sempre positiva para todo u real, temos f(x,y)=e{x{2}-y}>0. Logo não existem pontos do domínio que façam f(x,y)=0 ou f(x,y)=-20, pois esses valores não estão na imagem de f.
Passo 3
Para f(x,y)=1, escrevemos
Isso implica que o expoente é zero, ou seja x^{2}-y=0. Assim o conjunto de soluções é dado por
e qualquer x real satisfaz.
Passo 4
Para f(x,y)=10000, fazemos o mesmo:
Aplicando ln em ambos os lados, vem x^{2}-y=\ln(10000). Portanto
com qualquer x real.
Resposta
Não há soluções para f(x,y)=0 nem para f(x,y)=-20. Para f(x,y)=1, todos os pontos satisfazem y=x^{2}. Para f(x,y)=10000, todos os pontos satisfazem y=x^{2}-\ln(10000).