(2,0) Calcule pela definição formal de derivadas as seguintes funções:
R(z)=raiz5 z-4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função $ R(z) = \sqrt{5z - 4} $ usando a definição formal de derivadas. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, onde a gente aprende a encontrar a taxa de variação de uma função em um ponto específico utilizando limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição formal de derivada. A derivada de uma função $ R(z) $ em relação a $ z $ é dada por:
R(z)
Isso significa que precisamos calcular esse limite para encontrar $ R’(z) $.

Passo 3

Vamos substituir a função $ R(z) $ na definição. Temos:
R(z)
Substituindo na definição da derivada:
R(z) = raiz5z - 4 e R(z + h) = raiz5(z + h) - 4

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Primeiro, vamos expandir $ 5(z + h) - 4 $:
5(z + h) - 4
Então, a expressão fica:
5(z + h) - 4 = 5z + 5h - 4

Passo 5

Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar e dividir a expressão por $ \sqrt{5z + 5h - 4} + \sqrt{5z - 4} $. Fazendo isso:
raiz5z + 5h - 4 + raiz5z - 4
No numerador, usamos a identidade $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $:
R'(z) = limh to 0 (raiz5z + 5h - 4 - raiz5z - 4) (raiz5z + 5h - 4 + raiz5z - 4)h (raiz5z + 5h - 4 + raiz5z - 4)

Passo 6

Simplificando o numerador:
(5z + 5h - 4) - (5z - 4) = 5h
Então, a expressão fica:
R'(z) = limh to 0 5hh (raiz5z + 5h - 4 + raiz5z - 4) = limh to 0 5raiz5z + 5h - 4 + raiz5z - 4
Agora, podemos substituir $ h $ por 0 no limite:
h

Resposta

A derivada da função $ R(z) = \sqrt{5z - 4} $ é:
R(z) = raiz5z - 4

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