Calcule pela definição formal de derivadas as seguintes funções:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função $ R(z) = \sqrt{5z - 4} $ usando a definição formal de derivadas. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, onde a gente aprende a encontrar a taxa de variação de uma função em um ponto específico utilizando limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição formal de derivada. A derivada de uma função $ R(z) $ em relação a $ z $ é dada por:
Isso significa que precisamos calcular esse limite para encontrar $ R’(z) $.
Passo 3
Vamos substituir a função $ R(z) $ na definição. Temos:
Substituindo na definição da derivada:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro do limite. Primeiro, vamos expandir $ 5(z + h) - 4 $:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Para resolver esse limite, vamos racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar e dividir a expressão por $ \sqrt{5z + 5h - 4} + \sqrt{5z - 4} $. Fazendo isso:
No numerador, usamos a identidade $ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $:
Passo 6
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Agora, podemos substituir $ h $ por 0 no limite:
Resposta
A derivada da função $ R(z) = \sqrt{5z - 4} $ é: