Seja um disco de raio
, centrado no plano
, carregado com uma densidade superficial uniforme de cargas
).
a. Obtenha, via lei de Coulomb, uma expressão para o vetor intensidade de campo elétrico
em um ponto
.
a. Obtenha, via lei de Coulomb, uma expressão para o vetor intensidade de campo elétrico
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco com raio $ a $, centrado no plano $ xy $, e com uma densidade superficial uniforme de carga $ \rho_{s} $ em coulombs por metro quadrado ($ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2} $). O objetivo é encontrar, usando a lei de Coulomb, uma expressão para o campo elétrico $ \vec{E} $ em um ponto localizado nas coordenadas $ (0, 0, z) $ ao longo do eixo $ z $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da lei de Coulomb, que nos dá a força entre duas cargas. Para calcular o campo elétrico devido a uma distribuição contínua de carga, precisamos integrar as contribuições de infinitas pequenas cargas que compõem o disco.
Passo 3
Vamos considerar um anel infinitesimal no disco com raio $ r $ e espessura $ dr $. A área desse anel é $ dA = 2\pi r , dr $. A carga nesse anel é então $ dq = \rho_{s} \cdot dA = \rho_{s} \cdot 2\pi r , dr $.
Passo 4
O campo elétrico devido a esse anel no ponto $ (0, 0, z) $ terá apenas uma componente na direção $ z $, porque as componentes horizontais se cancelam pela simetria do disco. A expressão para o campo de um anel carregado é:
onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.
Passo 5
Substituindo $ dq $ na expressão acima:
Simplificando os termos constantes:
Passo 6
Agora, para encontrar o campo total $ E_z $, integramos $ dE_z $ de $ r = 0 $ até $ r = a $:
Passo 7
Vamos resolver a integral. Fazendo a substituição $ u = z^2 + r^2 $, temos $ du = 2r , dr $, ou seja, $ r , dr = \frac{du}{2} $. A integral se transforma em:
Integrando $ u^{-3/2} $:
Aplicando os limites:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Resposta
A intensidade do campo elétrico no ponto $ (0, 0, z) $ é: