Seja um disco de raio a, centrado no plano x y, carregado com uma densidade superficial uniforme de cargas rhos[C / m^2 ).
a. Obtenha, via lei de Coulomb, uma expressão para o vetor intensidade de campo elétrico E em um ponto (0,0, z).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco com raio $ a $, centrado no plano $ xy $, e com uma densidade superficial uniforme de carga $ \rho_{s} $ em coulombs por metro quadrado ($ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2} $). O objetivo é encontrar, usando a lei de Coulomb, uma expressão para o campo elétrico $ \vec{E} $ em um ponto localizado nas coordenadas $ (0, 0, z) $ ao longo do eixo $ z $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da lei de Coulomb, que nos dá a força entre duas cargas. Para calcular o campo elétrico devido a uma distribuição contínua de carga, precisamos integrar as contribuições de infinitas pequenas cargas que compõem o disco.

Passo 3

Vamos considerar um anel infinitesimal no disco com raio $ r $ e espessura $ dr $. A área desse anel é $ dA = 2\pi r , dr $. A carga nesse anel é então $ dq = \rho_{s} \cdot dA = \rho_{s} \cdot 2\pi r , dr $.

Passo 4

O campo elétrico devido a esse anel no ponto $ (0, 0, z) $ terá apenas uma componente na direção $ z $, porque as componentes horizontais se cancelam pela simetria do disco. A expressão para o campo de um anel carregado é:
(0, 0, z)
onde $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo.

Passo 5

Substituindo $ dq $ na expressão acima:
dq
Simplificando os termos constantes:
dEz = 14pivarepsilon0 cdot rhos cdot 2pi r , dr cdot z(z^2 + r^2)^3/2

Passo 6

Agora, para encontrar o campo total $ E_z $, integramos $ dE_z $ de $ r = 0 $ até $ r = a $:
Ez

Passo 7

Vamos resolver a integral. Fazendo a substituição $ u = z^2 + r^2 $, temos $ du = 2r , dr $, ou seja, $ r , dr = \frac{du}{2} $. A integral se transforma em:
u = z^2 + r^2
Integrando $ u^{-3/2} $:
du = 2r , dr
Aplicando os limites:
r , dr = du2

Passo 8

Simplificando a expressão:
Ez = rhos z2varepsilon0 ( 1z - 1raizz^2 + a^2 )
Ez = rhos2varepsilon0 ( 1 - zraizz^2 + a^2 )

Resposta

A intensidade do campo elétrico no ponto $ (0, 0, z) $ é:
(0, 0, z)

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