Use o Algoritmo Euclidiano para encontrar o mdc dos seguintes polinômios:
x^3-i x^2+4 x-4 i e x^2+1 em C[x];

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o Algoritmo Euclidiano para encontrar o máximo divisor comum (mdc) dos polinômios x^3 -i x^2 + 4x -4i e x^2 +1 no conjunto dos polinômios com coeficientes complexos, C[x]. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a divisão de polinômios e aplicar o algoritmo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o polinômio de maior grau pelo de menor grau. Nosso primeiro polinômio é P(x) = x^3 -i x^2 + 4x -4i e o segundo é Q(x) = x^2 +1.
Para dividir P(x) por Q(x), olhando para os termos de maior grau:
  • O termo de maior grau de P(x) é x^3 e o de Q(x) é x^2.
  • Perguntamos: quanto precisamos multiplicar x^2 para chegar em x^3? A resposta é x.
Multiplicamos Q(x) por x:
x cdot (x^2 +1) = x^3 +x
Subtraímos esse resultado de P(x):
(x^3 -i x^2 +4x -4i) - (x^3 +x) = -i x^2 +3x -4i
Então, o resto dessa divisão é R1(x) = -i x^2 +3x -4i.

Passo 3

Agora, aplicamos o Algoritmo Euclidiano: substituímos P(x) por Q(x) e Q(x) pelo resto R1(x), e repetimos o processo.
Então, vamos dividir Q(x) = x^2 +1 por R1(x) = -i x^2 +3x -4i.
Primeiro, ajustamos os sinais para facilitar:
R1(x) = -i x^2 +3x -4i = -i(x^2 - 3ix + 4ii) = -i(x^2 + 3i x +4)
Mas para simplificar, vamos apenas realizar a divisão diretamente.
Observamos que os graus dos polinômios são iguais (grau 2), então dividimos os coeficientes dos termos de maior grau:
x^2-i x^2 = -1i = i
Multiplicamos R1(x) por i:
i cdot (-i x^2 +3x -4i) = i(-i)x^2 +i cdot 3x +i cdot (-4i) = (1)x^2 +3i x +4
Subtraímos esse resultado de Q(x):
(x^2 +1) - (x^2 +3i x +4) = -3i x -3
Então, o resto dessa divisão é R2(x) = -3i x -3.

Passo 4

Continuamos o algoritmo substituindo Q(x) por R1(x) e R1(x) por R2(x). Agora, vamos dividir R1(x) = -i x^2 +3x -4i por R2(x) = -3i x -3.
Primeiro, observamos os termos de maior grau:
-i x^2-3i x = -i-3i x = 13x
Multiplicamos R2(x) por 13x:
13x cdot (-3i x -3) = (-i x^2) -x
Subtraímos esse resultado de R1(x):
(-i x^2 +3x -4i) - (-i x^2 -x) = 4x -4i
Então, o resto dessa divisão é R3(x) =4x -4i.

Passo 5

Agora, vamos dividir R2(x) = -3i x -3 por R3(x) =4x -4i.
Primeiro, ajustamos os termos:
-3i x4x = -3i4
Multiplicamos R3(x) por -3i4:
-3i4 cdot (4x -4i) = -3i x +3i^2 = -3i x -3
Subtraímos esse resultado de R2(x):
(-3i x -3) - (-3i x -3) =0
Como o resto deu zero, o algoritmo para aqui.

Resposta

O máximo divisor comum (mdc) dos polinômios x^3 -i x^2 +4x -4i e x^2 +1 em C[x] é 4x -4i.

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