Use o Algoritmo Euclidiano para encontrar o mdc dos seguintes polinômios:
e
em
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para usar o Algoritmo Euclidiano para encontrar o máximo divisor comum (mdc) dos polinômios
e
no conjunto dos polinômios com coeficientes complexos,
. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a divisão de polinômios e aplicar o algoritmo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir o polinômio de maior grau pelo de menor grau. Nosso primeiro polinômio é
e o segundo é
.
Para dividir
por
, olhando para os termos de maior grau:
- O termo de maior grau de
é e o de é . - Perguntamos: quanto precisamos multiplicar
para chegar em ? A resposta é .
Multiplicamos
por
:
Subtraímos esse resultado de
:
Então, o resto dessa divisão é
.
Passo 3
Agora, aplicamos o Algoritmo Euclidiano: substituímos
por
e
pelo resto
, e repetimos o processo.
Então, vamos dividir
por
.
Primeiro, ajustamos os sinais para facilitar:
Mas para simplificar, vamos apenas realizar a divisão diretamente.
Observamos que os graus dos polinômios são iguais (grau 2), então dividimos os coeficientes dos termos de maior grau:
Multiplicamos
por
:
Subtraímos esse resultado de
:
Então, o resto dessa divisão é
.
Passo 4
Continuamos o algoritmo substituindo
por
e
por
. Agora, vamos dividir
por
.
Primeiro, observamos os termos de maior grau:
Multiplicamos
por
:
Subtraímos esse resultado de
:
Então, o resto dessa divisão é
.
Passo 5
Agora, vamos dividir
por
.
Primeiro, ajustamos os termos:
Multiplicamos
por
:
Subtraímos esse resultado de
:
Como o resto deu zero, o algoritmo para aqui.
Resposta
O máximo divisor comum (mdc) dos polinômios
e
em
é
.