é a equação desta cônica, em que e é a excentricidade.
b) Definindo a reta r: x=\frac{p}{e^{2}}, Mostre que esta cônica pode ser descrita pelo conjunto de pontos P=(x, y) tais que
Nota: se escrevermos uma forma unificada, usando a=\dfrac{p}{e} e substituirmos, veremos que a expressão para b^{2} obtida pode ficar positiva ou negativa; positividade corresponde à elipse, negatividade ao caso em que o sinal do termo em y^{2} na equação muda (hipérbole). Vamos calcular explicitamente.
Passo 3
Calcular a e b^{2} em termos de p e e.
Como visto, c=p e a=\dfrac{p}{e}. Então
a^{2}=\frac{p^{2}}{e^{2}}.
Para a elipse usamos b^{2}=a^{2}-c^{2}. Substituindo:
Observe que quando e<1 o numerador (1-e^{2}) é positivo e então b^{2}>0 (elipse). Se e>1 então (1-e^{2})<0 e b^{2}<0; nesse caso a mesma expressão algebraica produzirá o sinal correto que transforma o termo em y^{2} em negativo, correspondendo à hipérbole (ver explicação abaixo).
A forma padrão da cônica com eixo em x e centro na origem é
Hipérbole (transversal no eixo x): \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{|b^{2}|}=1.
Mas note que se b^{2} calculado for negativo, então escrever \dfrac{y^{2}}{b^{2}} dá um sinal negativo automaticamente. Assim, usando a expressão de a^{2} e b^{2} em termos de p,e obtemos a forma unificada
que, para e<1, é a equação de uma elipse (denominadores positivos) e, para e>1, representa uma hipérbole (o segundo denominador é negativo e produz o sinal negativo no termo y^{2}). Isso mostra (a).
Passo 4
Agora provamos (b): equivalência entre a equação da cônica e a condição com a distância à reta r.
Escrevendo a condição do enunciado para F=(p,0) e r: x=\dfrac{p}{e^{2}}:
Distância de P=(x,y) até F é a distância euclidiana:
\operatorname{dist}(P,F)=\sqrt{(x-p)^{2}+y^{2}}.
Distância de P até a reta vertical r:x=\dfrac{p}{e^{2}} é o valor absoluto da diferença de abscissas:
Elevar ao quadrado (isso elimina a raiz; ao fazer isso é preciso lembrar que estamos perdendo informação de sinal do lado direito, mas geometricamente a cônica ocorre no lado correto da reta; para obter a equação algébrica basta elevar e simplificar):
que é exatamente a equação da parte (a). Assim a condição \operatorname{dist}(P,F)=e\,\operatorname{dist}(P,r) é equivalente à equação da cônica dada. Isso prova (b).
Passo 5
Resumo e observação final (motivação para prova):
A parte (a) segue diretamente usando c=p, e=c/a\Rightarrow a=p/e e a relação b^{2}=a^{2}-c^{2} (elipse) ou sua forma alternativa para hipérbole; substituindo em \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 obtém-se a fórmula pedida.
A parte (b) mostra a equivalência direta entre a definição foco‑diretriz \operatorname{dist}(P,F)=e\,\operatorname{dist}(P,r) e a equação algébrica da cônica, via cálculo das distâncias e manipulação algébrica (elevar ao quadrado, expandir, simplificar). É a derivação padrão da relação foco‑diretriz para cônicas com foco em (p,0) e directriz vertical x=\dfrac{p}{e^{2}}.