Seja uma elipse ou hipérbole com focos em F_{1}=(p, 0) e F_{2}=(-p, 0).
a) Mostre que
\frac{x^{2}}{\frac{p^{2}}{e^{2}}}+\frac{y^{2}}{\frac{p^{2}\left(1-e^{2}\right)}{e^{2}}}=1
é a equação desta cônica, em que e é a excentricidade.
b) Definindo a reta r: x=\frac{p}{e^{2}}, Mostre que esta cônica pode ser descrita pelo conjunto de pontos P=(x, y) tais que
\operatorname{dist}(P, F)=e \operatorname{dist}(P, r) .

Passo 1

O enunciado dá uma cônica com focos em F_{1}=(p,0) e F_{2}=(-p,0) e pede duas coisas:
  • (a) Mostrar que a equação
\frac{x^{2}}{\frac{p^{2}}{e^{2}}}+\frac{y^{2}}{\frac{p^{2}\left(1-e^{2}\right)}{e^{2}}}=1
representa essa cônica, onde e é a excentricidade.
  • (b) Definindo a reta r: x=\frac{p}{e^{2}}, mostrar que a mesma cônica é o conjunto dos pontos P=(x,y) que satisfazem
\operatorname{dist}(P,F)=e\,\operatorname{dist}(P,r),
onde aqui F=(p,0) (um dos focos).
Informações relevantes dadas:
  • Focos: F_{1}=(p,0), F_{2}=(-p,0).
  • Excentricidade: e (número real; para elipse 0<e<1, para hipérbole e>1).
  • Reta diretarix dada: r: x=\dfrac{p}{e^{2}}.

Passo 2

Vou explicar os conceitos básicos que vamos usar (devagar, como em prova).
  1. O que é a excentricidade e e as grandezas a,b,c numa cônica com eixo x:
  • Seja c a distância do centro ao foco. Aqui os focos são (\pm p,0), então c=p.
  • Seja a a semi‑distância do centro ao vértice (semi-eixo maior para elipse ou semi-eixo real para hipérbole).
  • A excentricidade é definida por
e=\frac{c}{a}.
Isto é, \,a=\dfrac{c}{e}=\dfrac{p}{e}.
  1. As relações entre a,b,c dependem do tipo de cônica:
  • Para uma elipse (quando e<1) vale
c^{2}=a^{2}-b^{2}\quad\Rightarrow\quad b^{2}=a^{2}-c^{2}.
  • Para uma hipérbole (quando e>1) vale
c^{2}=a^{2}+b^{2}\quad\Rightarrow\quad b^{2}=c^{2}-a^{2}.
Nota: se escrevermos uma forma unificada, usando a=\dfrac{p}{e} e substituirmos, veremos que a expressão para b^{2} obtida pode ficar positiva ou negativa; positividade corresponde à elipse, negatividade ao caso em que o sinal do termo em y^{2} na equação muda (hipérbole). Vamos calcular explicitamente.

Passo 3

Calcular a e b^{2} em termos de p e e.
  1. Como visto, c=p e a=\dfrac{p}{e}. Então
a^{2}=\frac{p^{2}}{e^{2}}.
  1. Para a elipse usamos b^{2}=a^{2}-c^{2}. Substituindo:
b^{2}=\frac{p^{2}}{e^{2}}-p^{2}=p^{2}\!\left(\frac{1}{e^{2}}-1\right)=\frac{p^{2}\left(1-e^{2}\right)}{e^{2}}.
Observe que quando e<1 o numerador (1-e^{2}) é positivo e então b^{2}>0 (elipse). Se e>1 então (1-e^{2})<0 e b^{2}<0; nesse caso a mesma expressão algebraica produzirá o sinal correto que transforma o termo em y^{2} em negativo, correspondendo à hipérbole (ver explicação abaixo).
  1. A forma padrão da cônica com eixo em x e centro na origem é
  • Elipse: \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
  • Hipérbole (transversal no eixo x): \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{|b^{2}|}=1.
    Mas note que se b^{2} calculado for negativo, então escrever \dfrac{y^{2}}{b^{2}} dá um sinal negativo automaticamente. Assim, usando a expressão de a^{2} e b^{2} em termos de p,e obtemos a forma unificada
\frac{x^{2}}{\dfrac{p^{2}}{e^{2}}}+\frac{y^{2}}{\dfrac{p^{2}\left(1-e^{2}\right)}{e^{2}}}=1,
que, para e<1, é a equação de uma elipse (denominadores positivos) e, para e>1, representa uma hipérbole (o segundo denominador é negativo e produz o sinal negativo no termo y^{2}). Isso mostra (a).

Passo 4

Agora provamos (b): equivalência entre a equação da cônica e a condição com a distância à reta r.
  1. Escrevendo a condição do enunciado para F=(p,0) e r: x=\dfrac{p}{e^{2}}:
  • Distância de P=(x,y) até F é a distância euclidiana:
\operatorname{dist}(P,F)=\sqrt{(x-p)^{2}+y^{2}}.
  • Distância de P até a reta vertical r:x=\dfrac{p}{e^{2}} é o valor absoluto da diferença de abscissas:
\operatorname{dist}(P,r)=\left|x-\frac{p}{e^{2}}\right|.
A condição dada é
\sqrt{(x-p)^{2}+y^{2}}=e\left|x-\frac{p}{e^{2}}\right|.
  1. Elevar ao quadrado (isso elimina a raiz; ao fazer isso é preciso lembrar que estamos perdendo informação de sinal do lado direito, mas geometrica­mente a cônica ocorre no lado correto da reta; para obter a equação algébrica basta elevar e simplificar):
(x-p)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x-\frac{p}{e^{2}}\right)^{2}.
  1. Expandir ambos os lados:
  • Esquerda: (x-p)^{2}+y^{2}=x^{2}-2px+p^{2}+y^{2}.
  • Direita:
e^{2}\left(x^{2}-2x\frac{p}{e^{2}}+\frac{p^{2}}{e^{4}}\right)=e^{2}x^{2}-2px+\frac{p^{2}}{e^{2}}.
  1. Igualando e cancelando termos comuns:
x^{2}-2px+p^{2}+y^{2}=e^{2}x^{2}-2px+\frac{p^{2}}{e^{2}}.
Observe que o termo -2px aparece dos dois lados e se cancela. Ficamos com:
x^{2}-e^{2}x^{2}+p^{2}-\frac{p^{2}}{e^{2}}+y^{2}=0.
Agrupando:
(1-e^{2})x^{2}+y^{2}+p^{2}\!\left(1-\frac{1}{e^{2}}\right)=0.
  1. Simplificar o termo constante:
1-\frac{1}{e^{2}}=\frac{e^{2}-1}{e^{2}},
portanto
(1-e^{2})x^{2}+y^{2}+p^{2}\frac{e^{2}-1}{e^{2}}=0.
Reescrevendo o constante no outro lado:
(1-e^{2})x^{2}+y^{2}= -p^{2}\frac{e^{2}-1}{e^{2}}=p^{2}\frac{1-e^{2}}{e^{2}}.
  1. Dividindo ambos os lados por p^{2}\dfrac{1-e^{2}}{e^{2}} (note que se e=1 é o caso degenerado parabólico, que não entra aqui), obtemos:
\frac{x^{2}}{\dfrac{p^{2}}{e^{2}}}+\frac{y^{2}}{\dfrac{p^{2}\left(1-e^{2}\right)}{e^{2}}}=1,
que é exatamente a equação da parte (a). Assim a condição \operatorname{dist}(P,F)=e\,\operatorname{dist}(P,r) é equivalente à equação da cônica dada. Isso prova (b).

Passo 5

Resumo e observação final (motivação para prova):
  • A parte (a) segue diretamente usando c=p, e=c/a\Rightarrow a=p/e e a relação b^{2}=a^{2}-c^{2} (elipse) ou sua forma alternativa para hipérbole; substituindo em \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1 obtém-se a fórmula pedida.
  • A parte (b) mostra a equivalência direta entre a definição foco‑diretriz \operatorname{dist}(P,F)=e\,\operatorname{dist}(P,r) e a equação algébrica da cônica, via cálculo das distâncias e manipulação algébrica (elevar ao quadrado, expandir, simplificar). É a derivação padrão da relação foco‑diretriz para cônicas com foco em (p,0) e directriz vertical x=\dfrac{p}{e^{2}}.

Resposta

\frac{x^{2}}{\frac{p^{2}}{e^{2}}}+\frac{y^{2}}{\frac{p^{2}\left(1-e^{2}\right)}{e^{2}}}=1
\{P=(x,y)\mid \operatorname{dist}(P,F)=e\,\operatorname{dist}(P,r)\},\quad F=(p,0),\; r:\; x=\frac{p}{e^{2}}

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