Qual é a equação da circunferência de centro C(-2,5) que é tangente ao eixo y ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Centro da circunferência: C(-2,5). Ou seja, as coordenadas do centro são (h,k)=(-2,5).
    • A circunferência é tangente ao eixo y. O eixo y é a reta x=0.
  • O que o enunciado pede:
    • Encontrar a equação da circunferência que tem centro em C(-2,5) e é tangente ao eixo y.

Passo 2

Lembrete da fórmula e o que cada símbolo significa.
  • A forma padrão (ou forma centrada) da equação de uma circunferência com centro (h,k) e raio r é
(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2.
Aqui:
  • x,y são as coordenadas de um ponto genérico da circunferência;
  • h,k são as coordenadas do centro;
  • r é o raio (distância do centro a qualquer ponto da circunferência).
  • Como a circunferência é tangente ao eixo y (reta x=0), o raio r é a distância do centro (h,k) até a reta x=0. A distância de um ponto (h,k) até a reta vertical x=0 é |h-0| = |h|.

Passo 3

Aplicar esses fatos ao nosso caso concreto.
  • O centro é (h,k)=(-2,5), logo h=-2 e k=5.
  • Distância do centro até o eixo y (reta x=0) é |h| = |-2| = 2. Portanto o raio é
r = 2.

Passo 4

Montar a equação usando a forma centrada e, em seguida, mostrar a forma expandida (se quiser usar no exame é útil conhecer ambas).
  • Substituindo h=-2, k=5 e r=2 na forma centrada:
(x-(-2))^2 + (y-5)^2 = 2^2,
ou seja
(x+2)^2 + (y-5)^2 = 4.
  • Expandindo para a forma geral (mostrar passos de expansão):
    • (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4,
    • (y-5)^2 = y^2 - 10y + 25.
      Somando:
x^2 + 4x + 4 + y^2 - 10y + 25 = 4.
Subtraindo 4 dos dois lados:
x^2 + y^2 + 4x - 10y + 25 = 0.

Passo 5

Verificação rápida da tangência (para ganhar confiança): ponto de tangência deve ter x=0 e satisfazer a equação. Substituindo x=0 em (x+2)^2+(y-5)^2=4:
(0+2)^2 + (y-5)^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad 4 + (y-5)^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad (y-5)^2 = 0,
logo y=5. Ponto de tangência é (0,5), que fica exatamente no eixo y à mesma altura do centro — faz sentido, confirmação extra.

Resposta

(x+2)^2 + (y-5)^2 = 4
x^2 + y^2 + 4x - 10y + 25 = 0

Exercícios relacionados