Qual é a equação da circunferência de centro
que é tangente ao eixo
?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Centro da circunferência:
. Ou seja, as coordenadas do centro são . - A circunferência é tangente ao eixo
. O eixo é a reta .
- Centro da circunferência:
-
O que o enunciado pede:
- Encontrar a equação da circunferência que tem centro em
e é tangente ao eixo .
- Encontrar a equação da circunferência que tem centro em
Passo 2
Lembrete da fórmula e o que cada símbolo significa.
- A forma padrão (ou forma centrada) da equação de uma circunferência com centro
e raio é
Aqui:
-
são as coordenadas de um ponto genérico da circunferência; -
são as coordenadas do centro; -
é o raio (distância do centro a qualquer ponto da circunferência). -
Como a circunferência é tangente ao eixo
(reta ), o raio é a distância do centro até a reta . A distância de um ponto até a reta vertical é .
Passo 3
Aplicar esses fatos ao nosso caso concreto.
- O centro é
, logo e . - Distância do centro até o eixo
(reta ) é . Portanto o raio é
Passo 4
Montar a equação usando a forma centrada e, em seguida, mostrar a forma expandida (se quiser usar no exame é útil conhecer ambas).
- Substituindo
, e na forma centrada:
ou seja
- Expandindo para a forma geral (mostrar passos de expansão):
-
, -
.
Somando:
-
Subtraindo
dos dois lados:
Passo 5
Verificação rápida da tangência (para ganhar confiança): ponto de tangência deve ter
e satisfazer a equação. Substituindo
em
:
logo
. Ponto de tangência é
, que fica exatamente no eixo
à mesma altura do centro — faz sentido, confirmação extra.