Para que valores de
e
a equação abaixo representa uma circunferência?
Passo 1
O enunciado dá a equação com parâmetros
e
:
O que se pede: determinar para quais valores de
e
essa equação representa uma circunferência.
Informações explícitas fornecidas:
- Coeficiente de
é . - Coeficiente de
é . - Termos lineares:
e . - Termo constante:
.
Passo 2
Vamos lembrar (de forma direta e prática) a condição que garante que uma equação do 2º grau em
e
descreve uma circunferência (não rotacionada): os coeficientes de
e de
têm de ser iguais e diferentes de zero, e não pode haver termo em
. Aqui já não há termo em
, então a condição relevante é
No nosso caso isso significa que devemos ter
e
não pode ser
(mas
já satisfaz isso). Então necessariamente
.
Passo 3
Agora substituímos
na equação e reorganizamos os termos por variáveis:
Para escrever isso na forma padrão de circunferência (centro e raio), vamos completar o quadrado em
e em
.
Explicando completamento de quadrado (rápido): para transformar
em um quadrado perfeito, soma-se e subtrai-se
, porque
Aqui, para
temos
e
. Para
temos
e
.
Passo 4
Aplicando o completamento de quadrado passo a passo:
Para
:
Para
:
Substituindo na equação:
Agrupando os constantes:
Isolando os quadrados:
Passo 5
A forma
representa uma circunferência de centro
e raio
, desde que
. Aqui obtivemos
Portanto o centro é
e o quadrado do raio é
.
Para que seja uma circunferência com raio real e estritamente positivo (circunferência não degenerada) é necessário
Observação sobre caso degenerado: se
então
e a equação representa um “ponto” (circunferência degenerada de raio zero). Se aceitar esse caso como circunferência depende da convenção; normalmente pede-se circunferência com raio positivo, então excluímos
.
Passo 6
Resumo final do raciocínio e resposta prática:
- Igualar os coeficientes de
e -> . - Completar o quadrado dá
-> exigir -> .
(se quiser incluir o caso degenerado:dá raio ).