Para que valores de m e k a equação abaixo representa uma circunferência?
m x^{2}+y^{2}+10 x-8 y+k=0

Passo 1

O enunciado dá a equação com parâmetros m e k:
m x^{2}+y^{2}+10 x-8 y+k=0.
O que se pede: determinar para quais valores de m e k essa equação representa uma circunferência.
Informações explícitas fornecidas:
  • Coeficiente de x^{2} é m.
  • Coeficiente de y^{2} é 1.
  • Termos lineares: 10x e -8y.
  • Termo constante: k.

Passo 2

Vamos lembrar (de forma direta e prática) a condição que garante que uma equação do 2º grau em x e y descreve uma circunferência (não rotacionada): os coeficientes de x^{2} e de y^{2} têm de ser iguais e diferentes de zero, e não pode haver termo em xy. Aqui já não há termo em xy, então a condição relevante é
\text{o coeficiente de }x^{2}\text{ deve ser igual ao de }y^{2}\text{ e não nulo.}ã
No nosso caso isso significa que devemos ter
m=1,
e m não pode ser 0 (mas m=1 já satisfaz isso). Então necessariamente m=1.

Passo 3

Agora substituímos m=1 na equação e reorganizamos os termos por variáveis:
x^{2}+10x+y^{2}-8y+k=0.
Para escrever isso na forma padrão de circunferência (centro e raio), vamos completar o quadrado em x e em y.
Explicando completamento de quadrado (rápido): para transformar x^{2}+bx em um quadrado perfeito, soma-se e subtrai-se \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}, porque
x^{2}+bx+\left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}=\left(x+\dfrac{b}{2}\right)^{2}.
Aqui, para x^{2}+10x temos b=10 e \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}=5^{2}=25. Para y^{2}-8y temos b=-8 e \left(\dfrac{b}{2}\right)^{2}=(-4)^{2}=16.

Passo 4

Aplicando o completamento de quadrado passo a passo:
Para x:
x^{2}+10x=(x+5)^{2}-25.
Para y:
y^{2}-8y=(y-4)^{2}-16.
Substituindo na equação:
(x+5)^{2}-25+(y-4)^{2}-16+k=0.
Agrupando os constantes:
(x+5)^{2}+(y-4)^{2}-41+k=0.
Isolando os quadrados:
(x+5)^{2}+(y-4)^{2}=41-k.

Passo 5

A forma (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} representa uma circunferência de centro (a,b) e raio r, desde que r^{2}>0. Aqui obtivemos
(x+5)^{2}+(y-4)^{2}=41-k.
Portanto o centro é (-5,4) e o quadrado do raio é r^{2}=41-k.
Para que seja uma circunferência com raio real e estritamente positivo (circunferência não degenerada) é necessário
41-k>0\quad\Longleftrightarrow\quad k<41.
Observação sobre caso degenerado: se k=41 então r^{2}=0 e a equação representa um “ponto” (circunferência degenerada de raio zero). Se aceitar esse caso como circunferência depende da convenção; normalmente pede-se circunferência com raio positivo, então excluímos k=41.

Passo 6

Resumo final do raciocínio e resposta prática:
  • Igualar os coeficientes de x^{2} e y^{2} -> m=1.
  • Completar o quadrado dá r^{2}=41-k -> exigir r^{2}>0 -> k<41.
    (se quiser incluir o caso degenerado: k=41 dá raio 0).

Resposta

m=1 e k<41
m=1 e k=41 (caso degenerado: raio 0, ponto)

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