Seja \ell uma reta passando pelo ponto P_{0} na direção de v. Usando produto vetorial, verifique que a distância entre \ell e um ponto P_{1} é dado por
\frac{\left|\left(P_{1}-P_{0}\right) \times v\right|}{|v|} .

Passo 1

O enunciado dá uma reta \ell que passa por um ponto P_{0} e tem direção dada pelo vetor v. Queremos achar a distância do ponto P_{1} até \ell usando propriedades do produto vetorial.

Passo 2

Geometricamente, a distância de P_{1} até a reta \ell é o comprimento da componente de \overrightarrow{P_{0}P_{1}} que é perpendicular a v. Se \theta é o ângulo entre \overrightarrow{P_{0}P_{1}} e v, esse comprimento vale
\bigl|\overrightarrow{P_{0}P_{1}}\bigr|\sin\theta.

Passo 3

Pela definição do produto vetorial, a área do paralelogramo gerado por \overrightarrow{P_{0}P_{1}} e v é
\bigl|\overrightarrow{P_{0}P_{1}}\times v\bigr| =\bigl|\overrightarrow{P_{0}P_{1}}\bigr|\,|v|\sin\theta.
Mas essa área também é igual à base \bigl|v\bigr| vezes a altura, e essa altura é exatamente a distância do ponto à reta.

Passo 4

Logo, chamando a essa altura de d, temos
d\,|v| \;=\;\bigl|\overrightarrow{P_{0}P_{1}}\times v\bigr| \quad\Longrightarrow\quad d \;=\;\frac{\bigl|\overrightarrow{P_{0}P_{1}}\times v\bigr|}{|v|}.

Resposta

\text{Distância} =\frac{\bigl|\bigl(P_{1}-P_{0}\bigr)\times v\bigr|}{|v|}.â

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