Dado um vetor v=\left(v_{1}, v_{2}\right) do plano, seja R_{\theta}(v) o vetor obtido pela rotação de v no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo \theta. O objetivo desse exercício é encontrar uma fórmula para R_{\theta} com a menor quantidade de cálculos possível.
Dado o vetor v=\left(v_{1}, v_{2}\right), defina \times v=\left(-v_{2}, v_{1}\right).

Passo 1

O enunciado pede uma fórmula geral para a rotação R_{\theta} de um vetor v=(v_{1},v_{2}) no plano, girando-o de forma anti-horária em torno da origem de um ângulo \theta.
Conteúdo: operadores lineares e séries de potências (exponencial de operador). Vamos usar a definição de
\times v = (-v_{2},v_{1})
que é a rotação de v em 90^\circ no sentido anti-horário.

Passo 2

Primeiro, notamos que o operador linear \times satisfaz
\times(\times v)=\times\bigl(-v_{2},v_{1}\bigr)=(-\,v_{1},-\,v_{2})=-v,
ou seja, (\times)^2 = -\mathrm{Id}.

Passo 3

A rotação R_{\theta} deve satisfazer a equação diferencial em \theta
\frac{d}{d\theta}R_{\theta}(v)=\times\bigl(R_{\theta}(v)\bigr),
com condição inicial R_{0}(v)=v. Isso é análogo a resolver o sistema y' = Ay com A=\times, daí
R_{\theta}=\exp\bigl(\theta\,\times\bigr).

Passo 4

Pela definição de exponencial de operador usamos a série de Taylor:
\exp\bigl(\theta\,\times\bigr) =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\theta\,\times)^{n}}{n!} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\,\theta^{2k}}{(2k)!}\,\mathrm{Id} \;+\;\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\,\theta^{2k+1}}{(2k+1)!}\,\times.
Reconhecemos as séries de cosseno e seno, então
\exp\bigl(\theta\,\times\bigr) =\cos\theta\,\mathrm{Id}+\sin\theta\,\times.

Passo 5

Aplicando esse operador a v, obtemos
R_{\theta}(v) =\cos\theta\,v+\sin\theta\,(\times v) =\cos\theta\,(v_{1},v_{2})+\sin\theta\,(-v_{2},v_{1})
logo, em coordenadas,
R_{\theta}(v) =\bigl(v_{1}\cos\theta - v_{2}\sin\theta,\;v_{1}\sin\theta + v_{2}\cos\theta\bigr).

Resposta

R_{\theta}(v) =\cos\theta\,v+\sin\theta\,(\times v) \quad\Longrightarrow\quad R_{\theta}(v) =\bigl(v_{1}\cos\theta - v_{2}\sin\theta,\;v_{1}\sin\theta + v_{2}\cos\theta\bigr).

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