Dado um vetor
do plano, seja
o vetor obtido pela rotação de
no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo
. O objetivo desse exercício é encontrar uma fórmula para
com a menor quantidade de cálculos possível.
Dado o vetor
, defina
.
Dado o vetor
Passo 1
O enunciado pede uma fórmula geral para a rotação
de um vetor
no plano, girando-o de forma anti-horária em torno da origem de um ângulo
.
Conteúdo: operadores lineares e séries de potências (exponencial de operador). Vamos usar a definição de
Conteúdo: operadores lineares e séries de potências (exponencial de operador). Vamos usar a definição de
que é a rotação de
em
no sentido anti-horário.
Passo 2
Primeiro, notamos que o operador linear
satisfaz
ou seja,
.
Passo 3
A rotação
deve satisfazer a equação diferencial em
com condição inicial
. Isso é análogo a resolver o sistema
com
, daí
Passo 4
Pela definição de exponencial de operador usamos a série de Taylor:
Reconhecemos as séries de cosseno e seno, então
Passo 5
Aplicando esse operador a
, obtemos
logo, em coordenadas,