Dois meios com índices de refração n_{1} e n_{2} estão separados por uma superfície plana com normal unitária e_{3}. Sejam a e b vetores unitários nas direções e sentidos dos raios incidente e refratado, respectivamente. Mostre que n_{1}\left(e_{3} \times a\right)=n_{2}\left(e_{3} \times b\right).

Passo 1

O enunciado fala de dois meios com índices de refração n_{1} e n_{2} separados por uma superfície plana cuja normal unitária é e_{3}. Um raio incidente tem direção dada pelo vetor unitário a e o raio refratado pela direção b. Precisamos usar a lei de Snell ( n_{1}\sin\theta_{1}=n_{2}\sin\theta_{2}) e expressar geometricamente os senos dos ângulos de incidência e refração em termos de produto vetorial para chegar à forma vetorial de Snell:
n_{1}(e_{3}\times a)=n_{2}(e_{3}\times b).

Passo 2

Definimos os ângulos de incidência \theta_{1} e de refração \theta_{2} por
\cos\theta_{1}=a\cdot e_{3},\qquad \cos\theta_{2}=b\cdot e_{3}.
Como a, b e e_{3} são coplanares, existe um vetor unitário m perpendicular a esse plano tal que
m = \frac{e_{3}\times a}{\big\|e_{3}\times a\big\|}.
Logo
e_{3}\times a = \big\|e_{3}\times a\big\|\,m = \sin\theta_{1}\,m, \qquad e_{3}\times b = \sin\theta_{2}\,m.

Passo 3

Pela lei de Snell escalar temos
n_{1}\,\sin\theta_{1} \;=\; n_{2}\,\sin\theta_{2}.
Multiplicando ambos os lados por m e usando as expressões acima, obtemos
n_{1}(e_{3}\times a) = n_{1}\,\sin\theta_{1}\,m = n_{2}\,\sin\theta_{2}\,m = n_{2}(e_{3}\times b).

Resposta

n_{1}\bigl(e_{3}\times a\bigr) = n_{2}\bigl(e_{3}\times b\bigr).

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