Seja Encontre, se houver, as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função
. Estamos lidando com funções racionais e exponenciais, então vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções para identificar essas assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a parte da função quando
, que é
. Funções exponenciais como essa não têm assíntotas verticais, pois
está sempre definido para qualquer valor de
. Mas podemos verificar se há alguma assíntota horizontal.
Passo 3
Para encontrar a assíntota horizontal dessa parte, vamos calcular o limite de
quando
tende a menos infinito:
Então, há uma assíntota horizontal em
para
.
Passo 4
Agora, vamos analisar a parte da função quando
, que é:
Primeiro, vamos simplificar essa expressão fatorando o numerador e o denominador.
Passo 5
No numerador:
No denominador, precisamos fatorar
. Vamos tentar encontrar as raízes usando o método de tentativa:
Testando
:
Então,
é um fator. Fazendo a divisão sintética, obtemos:
Fatorando
:
Então, o denominador fica:
Passo 6
Agora, substituindo no
:
Podemos simplificar os fatores comuns, mas não há nenhum aqui. Agora, vamos identificar as possíveis assíntotas verticais, que ocorrem onde o denominador é zero, desde que o numerador não anule esses pontos.
Passo 7
As possíveis assíntotas verticais são onde
,
e
, ou seja,
,
e
. Mas como estamos considerando
, apenas
é relevante dentro desse intervalo.
Vamos verificar se
é realmente uma assíntota vertical:
- O denominador tende a zero quando
. - O numerador, para
, é , que não tende a zero.
Então, há uma assíntota vertical em
para
.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal dessa parte da função. Para funções racionais, a assíntota horizontal depende do grau do numerador e do denominador.
- Grau do numerador:
→ grau 3 - Grau do denominador:
→ grau 3
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. No numerador, o coeficiente de
é
, e no denominador é
. Então:
Portanto, há uma assíntota horizontal em
para
.
Resposta
A função
possui:
- Uma assíntota horizontal em
para . - Uma assíntota vertical em
para . - Uma assíntota horizontal em
para .