Seja Encontre, se houver, as assíntotas verticais e horizontais do gráfico de g(x)=ll3+e^x-2 & ,se x <= 2 (x+2)(2 x^2+6 x)x^3-2 x^2-x+2 & , se x>2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função g(x). Estamos lidando com funções racionais e exponenciais, então vamos usar conceitos de limites e comportamento de funções para identificar essas assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a parte da função quando x <= 2, que é g(x) = 3 + e^x-2. Funções exponenciais como essa não têm assíntotas verticais, pois e^x-2 está sempre definido para qualquer valor de x. Mas podemos verificar se há alguma assíntota horizontal.

Passo 3

Para encontrar a assíntota horizontal dessa parte, vamos calcular o limite de g(x) quando x tende a menos infinito:
limx to -infty (3 + e^x-2) = 3 + 0 = 3
Então, há uma assíntota horizontal em y = 3 para x <= 2.

Passo 4

Agora, vamos analisar a parte da função quando x > 2, que é:
g(x) = (x+2)(2x^2 + 6x)x^3 - 2x^2 - x + 2
Primeiro, vamos simplificar essa expressão fatorando o numerador e o denominador.

Passo 5

No numerador:
(x+2)(2x^2 + 6x) = (x+2)(2x(x + 3)) = 2x(x+2)(x+3)
No denominador, precisamos fatorar x^3 - 2x^2 - x + 2. Vamos tentar encontrar as raízes usando o método de tentativa:
Testando x=1:
1 - 2 - 1 + 2 = 0
Então, (x - 1) é um fator. Fazendo a divisão sintética, obtemos:
x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x - 1)(x^2 - x - 2)
Fatorando x^2 - x - 2:
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
Então, o denominador fica:
(x - 1)(x - 2)(x + 1)

Passo 6

Agora, substituindo no g(x):
g(x) = 2x(x+2)(x+3)(x - 1)(x - 2)(x + 1)
Podemos simplificar os fatores comuns, mas não há nenhum aqui. Agora, vamos identificar as possíveis assíntotas verticais, que ocorrem onde o denominador é zero, desde que o numerador não anule esses pontos.

Passo 7

As possíveis assíntotas verticais são onde x - 1 = 0, x - 2 = 0 e x + 1 = 0, ou seja, x = 1, x = 2 e x = -1. Mas como estamos considerando x > 2, apenas x = 2 é relevante dentro desse intervalo.
Vamos verificar se x = 2 é realmente uma assíntota vertical:
  • O denominador tende a zero quando x to 2.
  • O numerador, para x = 2, é 2*2*(2+2)*(2+3) = 2*2*4*5 = 80, que não tende a zero.
Então, há uma assíntota vertical em x = 2 para x > 2.

Passo 8

Agora, vamos encontrar a assíntota horizontal dessa parte da função. Para funções racionais, a assíntota horizontal depende do grau do numerador e do denominador.
  • Grau do numerador: 2x(x+2)(x+3) → grau 3
  • Grau do denominador: (x - 1)(x - 2)(x + 1) → grau 3
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau. No numerador, o coeficiente de x^3 é 2, e no denominador é 1. Então:
limx to infty 2x^3 + dotsx^3 + dots = 21 = 2
Portanto, há uma assíntota horizontal em y = 2 para x > 2.

Resposta

A função g(x) possui:
  • Uma assíntota horizontal em y = 3 para x <= 2.
  • Uma assíntota vertical em x = 2 para x > 2.
  • Uma assíntota horizontal em y = 2 para x > 2.

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