Seja
. Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Para isso, vamos usar derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor de
:
Então, o ponto onde vamos tangenciar é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
, ou seja,
. Como a função está na forma de uma potência com base e expoente variáveis, vamos usar diferenciação logarítmica.
Vamos fazer isso passo a passo:
- Definindo a função:
- Aplicando o logaritmo natural nos dois lados:
- Derivando ambos os lados em relação a
:
- Isolando
:
- Substituindo
de volta:
Passo 4
Vamos agora calcular
:
Sabemos que:
Substituindo na derivada:
Pois
e o segundo termo também é zero.
Passo 5
Com o ponto
e a inclinação
, podemos usar a fórmula da equação da reta tangente:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente é
.