Seja h(x)=(sen x)^1 / x. Calcule a equação da reta tangente ao gráfico de h no ponto (pi / 2, h(pi / 2)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a equação da reta tangente ao gráfico da função h(x) = (sin x)^1/x no ponto ( pi2, h( pi2 ) ) . Para isso, vamos usar derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de h( pi2 ) :
h( pi2 ) = ( sin ( pi2 ) )^2/pi = 1^2/pi = 1
Então, o ponto onde vamos tangenciar é ( pi2, 1 ) .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de h(x) , ou seja, h'(x) . Como a função está na forma de uma potência com base e expoente variáveis, vamos usar diferenciação logarítmica.
Vamos fazer isso passo a passo:
  1. Definindo a função:
y = (sin x)^1/x
  1. Aplicando o logaritmo natural nos dois lados:
ln y = 1x ln(sin x)
  1. Derivando ambos os lados em relação a x :
1y cdot dydx = -1x^2 ln(sin x) + 1x cdot cos xsin x
  1. Isolando dydx :
dydx = y ( -ln(sin x)x^2 + cos xx sin x )
  1. Substituindo y de volta:
h'(x) = (sin x)^1/x ( -ln(sin x)x^2 + cos xx sin x )

Passo 4

Vamos agora calcular h'( pi2 ) :
Sabemos que:
sin( pi2 ) = 1 e cos( pi2 ) = 0
Substituindo na derivada:
h'( pi2 ) = 1 ( -ln(1)( pi2 )^2 + 0 pi2 cdot 1 ) = 0
Pois ln(1) = 0 e o segundo termo também é zero.

Passo 5

Com o ponto ( pi2, 1 ) e a inclinação m = 0 , podemos usar a fórmula da equação da reta tangente:
y - y0 = m(x - x0)
Substituindo os valores:
y - 1 = 0 cdot ( x - pi2 ) implies y = 1

Resposta

A equação da reta tangente é y = 1 .

Exercícios relacionados