- Seja
um real dado. Prove que quaisquer que sejam os reais positivos
e
, tem-se:
Passo 1
O enunciado diz: “Dado um real
e quaisquer
, mostre que
Matéria envolvida: valor absoluto, função raiz quadrada e monotonicidade. Para resolver, vamos usar duas coisas básicas:
- Para
, . - A raiz quadrada é uma função crescente em
, isto é, se então .
Passo 2
Como
e
, podemos escrever
Aqui usei a definição de valor absoluto: para número não negativo
,
, e para número real
,
.
Passo 3
Vamos ver o que é
:
Se
, então
e fica
Se
, idem:
.
Logo de todo jeito
Logo de todo jeito
Isso mostra
Passo 4
Agora usamos a monotonicidade da raiz quadrada. Como
e a raiz é crescente em
, temos
Passo 5
Por fim, como
,
.
Logo
Logo
Resposta
Portanto, para todos
e qualquer
, se
então
, como queríamos.