1. Seja epsilon>0 um real dado. Prove que quaisquer que sejam os reais positivos x e y, tem-se:
|x-y|

Passo 1

O enunciado diz: “Dado um real |x-y| e quaisquer , mostre que
Matéria envolvida: valor absoluto, função raiz quadrada e monotonicidade. Para resolver, vamos usar duas coisas básicas:
  1. Para , .
  2. A raiz quadrada é uma função crescente em , isto é, se então .

Passo 2

Como |raizx-raizy| = raizl(raizx-raizyr)^2 e , podemos escrever
Aqui usei a definição de valor absoluto: para número não negativo , , e para número real , .

Passo 3

Vamos ver o que é (raizx-raizy)^2 = x - 2raizx,y + y :
(raizx-raizy)^2 = x - y = |x-y|
Se (raizx-raizy)^2 = |x-y| , então |raizx-raizy| = raiz|x-y| e fica
Se , idem: .
Logo de todo jeito
Isso mostra

Passo 4

Agora usamos a monotonicidade da raiz quadrada. Como raiz|x-y| ;<; raizepsilon^2 e a raiz é crescente em , temos

Passo 5

Por fim, como |raizx-raizy| = raiz|x-y| < epsilon , .
Logo

Resposta

Portanto, para todos e qualquer , se então , como queríamos.

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