1. Sejam x, y dois reais quaisquer, com 0. Prove
raizy-x>raizy-raizx

Passo 1

Beleza, o exercício diz assim: “Sejam x e y números reais tais que 0 < x < y. Prove que
raizy - x ;>;raizy;-;raizx
Isso cai em “inequações com radicais” – ou seja, a gente vai precisar mexer com propriedades de raiz quadrada e também ter cuidado quando for elevar os dois lados ao quadrado (só podemos fazer isso sem mudar o sinal se os dois lados forem não-negativos).

Passo 2

Primeiro, vamos checar os sinais:
  1. Como 0 < x < y, então y – x > 0, de onde é algo positivo.
  2. E (porque a raiz quadrada é uma função crescente em ), logo .
    Conclusão: ambos os lados da desigualdade são não-negativos, então podemos elevar ao quadrado sem medo de inverter a desigualdade.

Passo 3

Agora elevamos ao quadrado os dois lados de
raizy - x > raizy - raizx
No lado esquerdo
(raizy - x)^2 = y - x
No lado direito, lembrando que (raizy - raizx)^2 = y + x - 2raizxy:
y - x ;>; y + x ;-; 2raizxy
Então nossa desigualdade ao quadrado fica

Passo 4

Basta agora organizar essa nova desigualdade:
y – x > y + x – 2√(xy)
⇒ y – x – y – x > – 2√(xy)
⇒ –2x > –2√(xy)
Multiplicando por –1 (e invertendo o sentido):
2x < 2√(xy)
⇒ x < √(xy).

Passo 5

Como x > 0, podemos elevar de novo ao quadrado sem mudar o sentido:
x² < xy
⇒ x² – xy < 0
⇒ x(x – y) < 0.
Mas sabemos que x > 0 e (x – y) < 0 (já que x < y), então de fato o produto é negativo. Ou, de outro jeito, basta dividir xy > x² por x > 0 e já dá y > x, que é verdade por hipótese.

Resposta

Portanto, todas as equivalências dão que a desigualdade original

é verdadeira sempre que 0 < x < y.

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