- Sejam
dois reais quaisquer, com
. Prove
Passo 1
Beleza, o exercício diz assim: “Sejam x e y números reais tais que 0 < x < y. Prove que
Isso cai em “inequações com radicais” – ou seja, a gente vai precisar mexer com propriedades de raiz quadrada e também ter cuidado quando for elevar os dois lados ao quadrado (só podemos fazer isso sem mudar o sinal se os dois lados forem não-negativos).
Passo 2
Primeiro, vamos checar os sinais:
- Como 0 < x < y, então y – x > 0, de onde
é algo positivo. - E
(porque a raiz quadrada é uma função crescente em ), logo .
Conclusão: ambos os lados da desigualdade são não-negativos, então podemos elevar ao quadrado sem medo de inverter a desigualdade.
Passo 3
Agora elevamos ao quadrado os dois lados de
No lado esquerdo
No lado direito, lembrando que
:
Então nossa desigualdade ao quadrado fica
Passo 4
Basta agora organizar essa nova desigualdade:
y – x > y + x – 2√(xy)
⇒ y – x – y – x > – 2√(xy)
⇒ –2x > –2√(xy)
Multiplicando por –1 (e invertendo o sentido):
2x < 2√(xy)
⇒ x < √(xy).
y – x > y + x – 2√(xy)
⇒ y – x – y – x > – 2√(xy)
⇒ –2x > –2√(xy)
Multiplicando por –1 (e invertendo o sentido):
2x < 2√(xy)
⇒ x < √(xy).
Passo 5
Como x > 0, podemos elevar de novo ao quadrado sem mudar o sentido:
x² < xy
⇒ x² – xy < 0
⇒ x(x – y) < 0.
Mas sabemos que x > 0 e (x – y) < 0 (já que x < y), então de fato o produto é negativo. Ou, de outro jeito, basta dividir xy > x² por x > 0 e já dá y > x, que é verdade por hipótese.
x² < xy
⇒ x² – xy < 0
⇒ x(x – y) < 0.
Mas sabemos que x > 0 e (x – y) < 0 (já que x < y), então de fato o produto é negativo. Ou, de outro jeito, basta dividir xy > x² por x > 0 e já dá y > x, que é verdade por hipótese.
Resposta
Portanto, todas as equivalências dão que a desigualdade original
é verdadeira sempre que 0 < x < y.
é verdadeira sempre que 0 < x < y.