7. Prove:

a) |x-y| >=|x|-|y|
b) |x-y| >=|y|-|x|
c) ||x|-|y|| <=|x-y|

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem que provar três coisinhas com valor absoluto:
a)
b)
c)
Conteúdo: valor absoluto e desigualdade triangular. Para resolver, vamos usar a tal da desigualdade triangular (que diz que o módulo de uma soma é no máximo a soma dos módulos) e umas manipulações básicas de inequações.

Passo 2

Teoria principal – Desigualdade triangular: para quaisquer números (ou vetores) |,u + v,| ;<=; |u| + |v| e , vale
É disso que a gente vai precisar, mais a definição de valor absoluto e como isolar termos em inequações.

Passo 3

Prova de (a) e (b)
  1. Use |,u + v,| = |(x - y) + y| = |x| ;<=; |x - y| + |y| e |x - y| ;>=; |x| - |y|, na desigualdade triangular:
|y - x| = |x - y|
  1. Agora basta isolar |x - y| ;>=; |y| - |x| :
que é exatamente a letra (a).
3) Para (b), é a mesma história trocando os papéis de e – ou então notar que
e repetir o raciocínio. Assim obtemos

Passo 4

Prova de ©
A letra © diz que
||x| - |y|| ;<=; |x - y|
Mas a gente já mostrou que
|x - y| >= |x| - |y| e |x - y| >= |y| - |x|
Isso significa que ||x| - |y|| = max,|x| - |y|,;|y| - |x| <= |x - y| é maior ou igual às duas quantidades e . Quando você quer a menor “boa” dessas duas, você pega o valor absoluto da diferença:
Pronto, c tá feita.

Resposta

Acabamos de provar que
a) ,
b) ,
c) .

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