7. Prove:
a)
b)
c)
b)
c)
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem que provar três coisinhas com valor absoluto:
a)
b)
c)
Conteúdo: valor absoluto e desigualdade triangular. Para resolver, vamos usar a tal da desigualdade triangular (que diz que o módulo de uma soma é no máximo a soma dos módulos) e umas manipulações básicas de inequações.
a)
b)
c)
Conteúdo: valor absoluto e desigualdade triangular. Para resolver, vamos usar a tal da desigualdade triangular (que diz que o módulo de uma soma é no máximo a soma dos módulos) e umas manipulações básicas de inequações.
Passo 2
Teoria principal – Desigualdade triangular: para quaisquer números (ou vetores)
e
, vale
É disso que a gente vai precisar, mais a definição de valor absoluto e como isolar termos em inequações.
Passo 3
Prova de (a) e (b)
- Use
e na desigualdade triangular:
- Agora basta isolar
:
que é exatamente a letra (a).
3) Para (b), é a mesma história trocando os papéis de e
– ou então notar que
3) Para (b), é a mesma história trocando os papéis de
e repetir o raciocínio. Assim obtemos
Passo 4
Prova de ©
A letra © diz que
A letra © diz que
Mas a gente já mostrou que
Isso significa que
é maior ou igual às duas quantidades
e
. Quando você quer a menor “boa” dessas duas, você pega o valor absoluto da diferença:
Pronto, c tá feita.
Resposta
Acabamos de provar que
a) ,
b) ,
c) .
a)
b)
c)