1. Seja a equação diferencial, com condições iniciais quaisquers, dada abaixo
\left\{\begin{array}{l} y_{1}^{\prime}=2 y_{1} y_{2}-(\sqrt{x}) \\\ y_{2}^{\prime}=y_{1}+3 x \\\ y_{1}(a)=y_{10} \\\ y_{2}(a)=y_{20} \end{array}\right.
Escreva um algoritmo para obter a solução da equação diferencial pelo método de Euler para um domínio D=\left[a=x_{0}, b\right] e um número qualquer
m de subintervalos. As soluções numéricas deverão ser gravadas em vetores, chamados de Y1 e Y2, tendo ( m+1 ) posições cada. O índice inicial de cada vetor deve ser o índice zero.

Passo 1

O problema apresenta um sistema de equações diferenciais de primeira ordem
\begin{cases} y_{1}' = 2\,y_{1}\,y_{2} - \sqrt{x},\\\ y_{2}' = y_{1} + 3\,x, \end{cases}
com condições iniciais y_{1}(a)=y_{10}, y_{2}(a)=y_{20}.
Queremos aproximar a solução em D = [a,b] usando o método de Euler explícito em m subintervalos, armazenando os valores em vetores Y1 e Y2 de tamanho m+1, com índice inicial zero.

Passo 2

Discretizamos o intervalo [a,b] em m passos de tamanho
h = \frac{b - a}{m}.
Chamamos x_{k} = a + k\,h para k=0,1,\dots,m.

Passo 3

Inicializamos os vetores solução com as condições iniciais, no índice zero:
Y1[0] = y_{10},\quad Y2[0] = y_{20}.

Passo 4

Para cada k = 0,1,\dots,m-1, aplicamos o passo de Euler
x_{k} = a + k\,h,
Y1[k+1] = Y1[k] + h\bigl(2\,Y1[k]\cdot Y2[k] - \sqrt{x_{k}}\bigr),
Y2[k+1] = Y2[k] + h\bigl(Y1[k] + 3\,x_{k}\bigr).

Resposta

Entrada: a, b, m, y_{10}, y_{20}.
Calcular h = \frac{b - a}{m}.
Criar vetores Y1 e Y2 com m+1 posições e índice inicial zero.
Definir
Y1[0] = y_{10},\quad Y2[0] = y_{20}.
Para k = 0 até m-1 faça
x_{k} = a + k\,h,
Y1[k+1] = Y1[k] + h\bigl(2\,Y1[k]\cdot Y2[k] - \sqrt{x_{k}}\bigr),
Y2[k+1] = Y2[k] + h\bigl(Y1[k] + 3\,x_{k}\bigr).
Retornar os vetores Y1 e Y2.

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