1. Dado o PVI abaixo
\left\{\begin{array}{l} y_{1}^{\prime}=y_{1}+y_{2}+3 x \\\ y_{2}^{\prime}=2 y_{1}-y_{2}-x \\\ y_{1}(0.0)=0.0 \\\ y_{2}(0.0)=-1.0 \end{array}\right.
Obtenha y_{1}(1.0) e y_{2}(1.0) usando o método de Euler com h=0.2.

Passo 1

O enunciado define um problema de valor inicial (PVI) para o sistema
\begin{cases} y_{1}' = y_{1} + y_{2} + 3x,\\\ y_{2}' = 2y_{1} - y_{2} - x,\\\ y_{1}(0)=0,\;y_{2}(0)=-1, \end{cases}
e pede y_{1}(1) e y_{2}(1) aproximados pelo método de Euler explícito com passo h=0,2. Vamos usar teoria de métodos numéricos para EDOs e iterar de x=0 até x=1.

Passo 2

No método de Euler explícito para sistemas, se \mathbf{y} = (y_{1},y_{2}) e \mathbf{y}' = \mathbf{f}(x,\mathbf{y}), a iteração é
\mathbf{y}_{n+1} = \mathbf{y}_{n} + h\,\mathbf{f}(x_{n},\mathbf{y}_{n})
com x_{n+1}=x_{n}+h. Aqui
\mathbf{f}(x,y_{1},y_{2}) = \begin{pmatrix} y_{1} + y_{2} + 3x\\\\ 2y_{1} - y_{2} - x \end{pmatrix}.
Tomamos x_{0}=0, \mathbf{y}_{0}=(0,-1) e h=0,2. Vamos gerar (x_{n},y_{1,n},y_{2,n}) para n=1,2,\dots,5.

Passo 3

Iterando de n=0 até 4:
n =0: x_{0}=0, (y_{1,0},y_{2,0})=(0,-1) \mathbf{f}(0,0,-1)=(-1,\;1) (y_{1,1},y_{2,1})=(0,-1)+0,2\,(-1,1)=(-0,2,\;-0,8)
n =1: x_{1}=0,2, (y_{1,1},y_{2,1})=(-0,2,-0,8) \mathbf{f}=(-0,4,\;0,2) (y_{1,2},y_{2,2})=(-0,28,\;-0,76)
n =2: x_{2}=0,4, (y_{1,2},y_{2,2})=(-0,28,-0,76) \mathbf{f}=(0,16,\;-0,2) (y_{1,3},y_{2,3})=(-0,248,\;-0,8)
n =3: x_{3}=0,6, (y_{1,3},y_{2,3})=(-0,248,-0,8) \mathbf{f}=(0,752,\;-0,296) (y_{1,4},y_{2,4})=(-0,0976,\;-0,8592)
n =4: x_{4}=0,8, (y_{1,4},y_{2,4})=(-0,0976,-0,8592) \mathbf{f}=(1,4432,\;-0,136) (y_{1,5},y_{2,5})=(0,19104,\;-0,8864)
Portanto, em x_{5}=1,0 obtemos (y_{1,5},y_{2,5})\approx(0,19104,\,-0,8864).

Resposta

y_{1}(1,0)\approx0,1910 y_{2}(1,0)\approx-0,8864

Exercícios relacionados